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楕円の円周の計算をお願いします

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質問者

a_san228さん

2008/2/2617:10:05

楕円の円周の計算をお願いします

装飾でアーチを作ることになったので長さを計算しようとして
ウキペディアで計算方法を見たのですが、
中学出の私にはチンプンカンプンでした ( p_q)エ-ン
どなたか計算出来る方 是非お願い出来ませんか?

横幅4.5m 高さ3mの楕円の長さをお願いします

たぶん長軸が6m、短軸4.5mとしてそれを2で割ると
半楕円の長さが出るとは思います

あと、簡単な計算方法なんかありますか?
あったら苦労しないですけど… (-_-;)

すみませんがよろしくお願い致します m(_ _;)m

補足確かにそこまで正確な数字を求めるのもなんだとは思いますが、
今後工事とかに応用出来る場面も出てくると思いまして
今後の参考にしたいと思って質問を載せました

やはり面倒くさいと言う事ですよね。。。
今日1日待ってみますが、答えて貰えなかったら断念します
すみませんでした

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ベストアンサーに選ばれた回答

taksaitamaさん

編集あり2008/2/2618:16:45

装飾のアーチをなぜそこまで正確につくる必要があるのかが不明なのですが。。。
計算は面倒ですし、実際つくるときにそこまで正確な楕円をつくるのは無理でしょうから、
4.5cm、3cmのミニチュアにして作図し、その長さを測ったら良いのではないのでしょうか。
楕円の作図方法はウィキペディア「楕円」に書いてありました。

【追記】
CADで作図してみました。長軸が6m、短軸4.5m楕円です。
16577.6mmで一周でしたので、半分なら8288.8mmですね。

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2008/2/2722:01:36

a_san228、質問者です
皆さん ありがとうございます

この質問にいろいろとお答えを考えていただいて
求めていた回答やすごく参考になるお答えを頂けて嬉しく思います。
CADで作るのは予想外でびっくりしましたし、
(難しすぎてたぶん完璧だと思いますが)
こんな難しい計算を完璧なまでのお答えをして頂いて本当に嬉しく思います
このような計算が出来るなんて天才だと思いますし、
発想の転換で簡単に答えを出せるのもすごいと思いました。
ただ ただ感動と尊敬をしております!

知恵を振り絞って頂いているので『この人がBA!』と
私自身が決める事がおこがましいと思ってしまいましたので、
投票で決めさせて頂く事にした事と
御礼の言葉を載せたくて別IDで乗せさせて頂きました

もっと自分自身が勉強をすることと、発想力を高めることが必要ですね
本当にありがとうございました m(_ _)m

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c18h6さん

編集あり2008/2/2623:22:06

第2種完全楕円積分というのを使うのですが、ウィキペディアの計算式はそのままでは
たくさんの計算をしないといけないので、ちょっと使いにくいです。

変形した式を使うと簡単な計算で、結構精度よく求めることができます。

長半径 a, 短半径 b、楕円の周の長さを L とすると
c = b/a, r = (1-c)/(1+c),

L=2πa[1/(1+r)]F、
Fは、次の計算式で 下に行くほど近似の度合いが上がります。
F≒1+(1/4)r^2(F1)
F≒1+(1/4)r^2+(1/64)r^4 (F2)
F≒1+(1/4)r^2+(1/64)r^4 + (1/256)r^6 (F3)
F≒1+(1/4)r^2+(1/64)r^4 + (1/256)r^6 + (25/1652)r^8 (F4)

F=1+(1/2)^2r^2+{1/(2×4)}^2r^4 + {(1×3)/(2×4×6)]r^6 + {(1×3×5)/(2×4×6×8)]r^8 + ・・・・ + {(1×3×…×(2k-3))/(2×4×…×2k)}r^2k + ・・・・・

誤差は真の値1として
F1だと 誤差が大きいですが、
F2 だと ~a/b≒1.5 誤差 10^-6, ~a/b≒2 誤差 10^-5, ~a/b≒3.3 誤差 10^-4, ~a/b≒8で 誤差 10^-3
F4 だと ~a/b≒3 誤差 10^-6, ~a/b≒4.5 誤差 10^-5, ~a/b≒8 誤差 10^-4, ~a/b≒50で 誤差 10^-3
です。

この問題だと F2 レベルで
c = (4.5/2)/(6/2)=3/4, r = ( 1 - 3/4 )/( 1 + 3/4 ) = 1/7

L≒2π×3×[1/(1+1/7)]×{ 1 + (1/4)×(1/49) + (1/64)×(1/49)×(1/49) } = 2π×3×(7/8)×(1+1/196+(1/64)(1/49)(1/49)))≒16.577618 で 7桁は、合います。

追記:この問題の計算を追加しました

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編集あり2008/2/2621:38:00

長半径a=6/2=3
短半径b=4.5/2=2.25
m=1-(b/a)^2=7/16
L=2πa{1-A}
A=Σ[{(2n-1)!!/(2n)!!}^2×m^2/(2n-1)] n=1,2,....∞
=0.120529991
(この数値の場合 10項くらいで5桁は収束)
L=2π×3×(1-0.120529991)=16.577
L/2 =π×3×(1-0.120529991)=8.2888


Aの計算方法は たとえばExcel で
A1=ROW() B1=(2*A1-1)/(2*A1) C1=7/16 D1 =B1^2/(2*A1-1)*C1
A2=Row() B2=B1*(2*A2-1)/(2*A2) C2=C1*$C$1 D2 =D1+B2^2/(2*A2-1)*C2
以下2行目のコピー
で計算できる。mの値をC1にいれればほかの比率の場合も計算できる
mが1に近くなると収束がわるい
円の時にはA=0でL=2πa

まさに、
「正確には楕円積分といって簡単には計算できない。被積分関数を級数展開して、、、」
そのまま、
だが、ブラックボックスにしておけば、簡単。

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namacotchさん

2008/2/2619:21:58

数学の人にそれを聞くと「正確には楕円積分といって簡単には計算できない。被積分関数を級数展開して、、、」などと訳のわからない説明になってしまうでしょうね。

その図は本当に正しく楕円ですか?アーチの形を見て何となく「楕円」だと呼んでしまっているだけかも。

半径rの円周の長さは公式で、2πr、です。
楕円の半径なんてものは無いわけですが、長軸の半分と短軸の半分の平均を半径と見立てて円周とみなしても
それほどの誤差はなんじゃないかと想像します。

でも、図面から線分の和で近似した方がずーっと現実的だと思います。
平べったいカーブなら、なおさらです。

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o_samba_oさん

2008/2/2617:53:22

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