午前10時、大分空港から柞原(ゆずはら)八幡宮、西寒多神社、宇佐神宮に参拝した後...

kanzamashi0128さん

４日間かつ公共交通機関のみでご希望の場所すべてを回ることは、時間的・体力的に相当厳しいでしょう。タクシーも相当利用しなくてはなりません。（レンタカーをお勧めします。）
特に、２～３日目の阿蘇神社→幣立神社→高千穂→延岡のアクセスがよくありません。
このあたりはご承知のとおり山地の中央部にあたり、交通機関のネットワーク・便数ともに大変少ない地域です。
１便乗り遅れたりすると後の行程は大変なことになります。必然的に待ち時間によるロスが多くなります。

ルートとして考えられるのは（机上の論です。時刻等を入れていますが平日・祝日ダイヤ等は考慮していません。）こういったところでしょうか。帰路は宮崎空港発としました。
１日目：大分空港（１０：０５/１１：４５）→宇佐神宮、参拝後バス・ＪＲにて西大分駅or大分駅→柞原八幡宮へはタクシー。
西寒多神社へは大分駅周辺からバスが頻繁に出ています。（もちろんタクシーでも可。）その後ＪＲにて別府駅→（バス）→由布院駅（泊）
２日目：湯布院→（やまなみＨＷ）→阿蘇駅→阿蘇神社（タクシー）、阿蘇駅１３：５７→立野（乗り換え）→高森１５：２０着/１６：０７発→（バス）→高千穂ＢＣ（泊）、
（幣立神社：上益城郡山都町大野は立ち寄りません。どうしてもというのであれば高森駅から（阿蘇駅からでもかまいませんが）タクシーを使い、
幣立神社→高千穂。立ち寄り時間を含めて２～３時間くらいでしょう）
２日目夕方～３日目午前で高千穂神社・岩戸神社・高千穂峡をタクシーで。
３日目１２：３０高千穂発→（バス）→１３：４９延岡着１４：２６→（ＪＲ）→都農駅１５：１４→都農神社（徒歩またはタクシー）
→都農駅１６：１６→（ＪＲ）→１７：００宮崎駅１７：４７→（ＪＲ）→１８：２５青島駅（泊）
４日目：朝青島神社へ（徒歩等）→バスまたはタクシーにて鵜戸神宮参拝後飫肥城（日南市内）など観光
→飫肥城１３：４０発→（バス）→宮崎空港１５：１９着。

なお、この地域のバスについては下記サイトで検索できます。
http://qbus.jp/time/default.htm