標準偏差の意味がわかりません。 どのように見たらよいですか？ 平均と標準偏差（σ...

pistis_sophia_00さん

標準偏差は、データのばらつきを表す量です。

多くのデータを処理する場合、たとえば、100人が受けた試験があった場合を考えます。
全十問で、配点が各10点とします。

まず横軸を点数、縦軸をその点数を取った受験生の人数のグラフをイメージしてください。

難しすぎず、易しすぎず、うまくできた試験なら、平均点が50点位になります。
さて、Aさんは60点を取りました。これはどれぐらいすごいでしょう？

たとえば、
0点：0人
10点：0人
20点：0人
30点0人
40点：1人
50点：98人
60点：1人
70点：0人
80点：0人
90点：0人
100点：0人
（これで、平均は50点になります）
のとき、60点の一人がAさんです。
これは、Aさんはトップなので、すごいですね。

ところが

0点：5人
10点：10人
20点：10人
30点：10人
40点：１0人
50点：10人
60点：10人
70点：10人
80点：10人
90点：10人
100点：5人
（これも、平均は50点です）

この場合、60点を取ったAさんは、一応、平均点よりも上ですが、すごく優秀かというと、そうではないですね。
Aさんよりもいい点を取った人は35人もいます。

最初の例と、二番目の例で何が違うかというと、データのばらつきです。
最初の例は、データが平均の近くに集中しているので、平均から少しでもいい方にずれると、とても優秀な成績になります。
一方、二番目のデータは、非常にばらついているので、平均から少しいいぐらいでは、優秀とは言えません。

そんなわけで、ある一人の結果が、すごくいいのか、それほどでもないのかを評価する場合、平均よりいいか悪いかだけでは判断できないのです。
そんなときに出てくるのが標準偏差です。標準偏差はデータのばらつきを表すので、全体のデータの平均Xと標準偏差σの両方が分かっている場合、たとえば

X－２σ以下：すごく悪い
X－２σ＜得点＜X－σ：悪い
X－σ＜得点＜X＋σ：普通
X＋σ＜得点＜X＋２σ：良い
X＋２σ以上：すごく良い

というようにすると、平均点しか使わない場合よりは、だいぶ正しい評価ができるわけです。
たとえば、平均Xが５０点、標準偏差σが８点なら、

X－２σ＝３４点以下：すごく悪い
X－２σ＝３４点＜得点＜X－σ＝４２点：悪い
X－σ＝４２点＜得点＜X＋σ＝５８点：普通
X＋σ＝５８点＜得点＜X＋２σ＝６６点：良い
X＋２σ＝６６点以上：すごく良い

なので７０点とれば「すごく良い」の評価ですが、平均Xが５０点、標準偏差σが２２点なら、

X－２σ＝６点以下：すごく悪い
X－２σ＝６点＜得点＜X－σ＝２８点：悪い
X－σ＝２８点＜得点＜X＋σ＝７２点：普通
X＋σ＝７２点＜得点＜X＋２σ＝９４点：良い
X＋２σ＝９４点以上：すごく良い

となるので、７０点では普通という評価になってしまうわけです。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ちなみに、Excelの場合、標準偏差はSTDEVとSTDEVPという二つが用意されています。この区別は以下のようになります。

統計は、たくさんのデータを使うほど、結果が信用できます。
たとえば、ある町の成人男性の調査をしたい場合、本当なら、すべての成人男性を調査すべきですが、それはあまりに大変です。
そこで、普通は、手抜きして、１００人位を調査して、もし全部の成人の調査ができたらどうなのかを推定します。

このとき、１００人の調査で出した平均値は、全成人を調査した場合の平均値と、よく一致することがわかっています。
（むろん、これは確率論的な話で、いつも一致するわけではありませんが、よく一致する可能性が高いということです）

ところが、１００人の調査で出した標準偏差は、全成人を調査した場合の標準偏差と、あまりよく一致しないのです。
全成人を調査した時の標準偏差とよく一致するのは、１００人の調査データで計算した普遍標準偏差という量です。

Excelの場合。標準偏差はSTVEDP、普遍標準偏差がSTVEVとなっています。
だから、調査対象が、ただしく全部把握できているなら、その全データを使ってSTDEVPで標準偏差を求めます。
調査対象が全部調査できなくて、少ないデータで手抜きして、全部使った場合の標準偏差を推定したいなら、少ないデータでSTVEVを計算して、その値を、手抜きしないで全部のデータを使った場合、こういう標準偏差になるだろう と予想して採用することになります。