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どなたか、オイラーの等式を、わかりやすくご説明くださいませ。 お願いします。

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質問者

pixxelettaさん

2009/8/1322:04:37

どなたか、オイラーの等式を、わかりやすくご説明くださいませ。
お願いします。

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728
回答数:
2

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ベストアンサーに選ばれた回答

braverd_bbさん

2009/8/1400:09:24

shokunai2010さんのオイラーの公式にθ=πを代入すると、
e^iπ=cosπ+isinπ
e^iπ=-1+i・0
e^iπ+1=0
となります。これがオイラーの等式です。

e(自然対数)、i(虚数単位)、π(円周率)、1(乗法の単位元)、0(加法の単位元)という
数学上欠かすことのできない5つの数が、このような単純な形の式で表されているのが
オイラーの等式の構造美の所以でしょう。

質問した人からのコメント

2009/8/18 15:36:49

降参 皆様、ご回答ありがとうございました。
すばらしい美しい等式ですね。
人間が、これを発見するのを
宇宙の摂理が待っていました、と言う感じじゃないですか!

ちょい足しを取り消しますが
よろしいですか?

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ベストアンサー以外の回答
1〜1件/1件中

shokunai2010さん

2009/8/1322:17:40

e^(iθ)=cosθ+isinθという、三角関数とeと虚数単位をつなぐ式です。
証明はマクロリン展開ができれば出来ます。

e^xのマクロリン展開
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…にx=iθを代入すると
e^(iθ)=1+iθ-θ^2/2!-iθ^3/3!+θ^4/4!+iθ^5/5!-…
e^(iθ)=1-θ^2/2!+θ^4/4!-… + i(θ-θ^3/3!+θ^5/5!-…)
前半部分はcosθのマクロリン展開、後半部分はsinθのマクロリン展開なので
(これも自分で確かめてみると理解が深まるでしょう)、
e^(iθ)=cosθ+isinθ (証明終わり)

ちょい足しを取り消しますが
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