解決済みの質問
数Ｃの行列です。 ２次の正方行列について、 次のことを証明せよ。 （１）Ａ^４...
数Ｃの行列です。
２次の正方行列について、
次のことを証明せよ。
（１）Ａ^４＝ＥならばＡは逆行列をもつ。
（２）Ａ^２＝ＯならばＥ－Ａは逆行列をもつ。
（３）Ａ^２＝ＯならばＡは逆行列をもたない。
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- 質問日時：
- 2009/10/4 13:12:43
- ケータイからの投稿
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- 解決日時：
- 2009/10/19 09:22:31
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- 2
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- 305
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ベストアンサーに選ばれた回答
逆行列の定義
AX=XA=Eが成り立つとき、
XをAの逆行列といい、X=A^(-1)で表す。
（１）
A^4=Eより、
A^3A=AA^3=E
すなわち、A^(-1)=A^3となります。
（2）
E+Aという行列を考えます。
(E-A)(E+A)=E^2+EA-AE-A^2=E+A-A-O=E
(E+A)(E-A)=E^2-EA+AE-A^2=E+A-A-O=E
すなわち、(E-A)^(-1)=E+A
（３）
背理法で証明します。
A^(-1)が存在すると仮定します。
A≠OかつA^(-1)≠O
A^2=Oの両辺に左側から、A^(-1)をかけます。
A^(-1)(A^2)=A^(-1)O
{A^(-1)A}A=O....（行列の積においては、結合法則が成り立ちます。）
EA=O
A=O
これは仮定に矛盾しますね。
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- 編集日時：2009/10/4 13:56:22
- 回答日時：2009/10/4 13:48:58
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ベストアンサー以外の回答
（1件中1〜1件）
(1) A^4=E ならば Aは逆行列をもつ。
A^4=E から
A(A^3)=E および
(A^3)A=E
と同値であるから、Aの逆行列はA^3である。
(2) A^2=O ならば E-Aは逆行列をもつ。
E-A=Bとおくと、A=E-Bだから A^2=Oに代入すると
(E-B)(E-B)=O
展開すると
E^2-BE-EB+B^2=O
単位行列の性質から
E-2B+B^2=O
2B-B^2=E
B(2E-B)=(2E-B)B=E
よって、B=E-Aの逆行列は2E-B=E+Aである。
(3) A^2=O ならば Aは逆行列をもたない。
もしもAが逆行列A^(-1)を持つと仮定する。
A^2=Oの左からA^(-1)を掛けると
A^(-1)AA=A^(-1)O
EA=O
A=O
すると
A^(-1)A=O および AA^(-1)=O
となり、AA^(-1)=A^(-1)A=Eであることと矛盾する。
したがって、Aが逆行列A^(-1)を持つという仮定は偽であることが示された。
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- 回答日時：2009/10/4 13:53:05
