サイクロイド・体積について

mr_pollinosisさん

サイクロイド
x=a(θ-sinθ),y=a(1-cosθ) (0≦θ≦2π)
とx軸とで囲まれた部分をx軸の周りで一回転させてできる体積について

V=π∫(0→2πa)y^2dy, dx=a(1-cosθ)dθ

またxとθの対応関係は
x:0→2πa
t:0→2π
よって置換積分を用いて
V=π∫(0→2πa)y^2dx, dx=a(1-cosθ)dθ
=π∫(0→2π) (a^2)*{(1-cosθ)^2}*a(1-cosθ)dθ
=πa^3∫(0→2π)(1-cosθ)^3dθ
=πa^3∫(0→2π){1-3cosθ+3(cosθ)^2-(cosθ)^3}dθ (1-cosθ)^3の展開
ここで
∫(0→2π)dθ=2π
∫(0→2π)cosθdθ=0
∫(0→2π)(cosθ)^2 dθ=∫(0→2π)｛(1+cos2θ)/2｝ dθ=π
∫(0→2π)(cosθ)^3dθ=∫(0→2π){1-(sinθ)^2}cosθdθ=0 ←cosθ=(sinθ)' より置換積分
よって
V=πa^3(2π-3*0+3*π-0)
=5*(a^3)*(π^2)

これより
ア：４ イ：８ ウ：２ オ：０ カ：π キ：０ クケ：４０ コ：２
となります。