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標準偏差の補正について

kouteinouryokusitumonさん

2010/2/1922:01:48

標準偏差の補正について

標準偏差はデータ数が少ない場合は補正が必要だそうです。

データ数10 補正係数1.45
データ数20 補正係数1.17

この係数はどのように求められているのでしょうか?

不偏標準偏差であっても標本標準偏差であってもこの値をかけると母標準偏差を大きく超えてしまうように思えます。区間推定の上限値を目指した計算のようにも思われません。

補正後の数値にどのような意味があるのでしょうか?
(補正後の数値が母標準偏差に近いとは思えないので。)

補足「母分散の不偏推定の平方根が母標準偏差を低めに推定してしまうのは、平方根変換が線型な変換でないため」
大変参考になりました。ありがとうございます。
しかし恥ずかしながら英語が読めません。
・n10での1.45やn20での1.17はどのように求められているのか?
・n10での1.45やn20での1.17による補正後の数値にどのような意味があるのか?
(補正後の数値が母標準偏差に近いとは思えないので。)

お分かりでしたらお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

ymst_rintaさん

編集あり2010/2/2410:10:03

それについては、Wikipedia英語版に記述がありました。
http://en.wikipedia.org/wiki/Unbiased_estimation_of_standard_deviat...
母分散の不偏推定の平方根が母標準偏差を低めに推定してしまうのは、平方根変換が線型な変換でないためとのことです。

[追記]
補正係数についてのWikipediaの内容を読みました。正規分布の場合の補正係数c4の導出式が書かれています。sの期待値のc4倍がσなので、表のc4の逆数をsに掛けることで補正できるのですが、
n=10で1/c4=1.028
となり、kouteinouryokusitumonさんの示した数値と一致しません。そちらの数値の出典は何でしょう。

[追記2]
kouteinouryokusitumonさんのご指摘の通り、1.45や1.17という係数は大きすぎる気がしましたので、シミュレーションで確かめてみました。
N(0,1)に従う乱数を発生させて、サイズ5または10の標本を100000個作り、標準偏差の平均を出しました。
n=5: 0.9424401, 理論値(Wikipedia): 0.9399856030
n=10: 0.9740787, 理論値: 0.9726592741
より、Wikipediaの理論値でほぼ補正できることが分かります。

質問した人からのコメント

2010/2/24 22:22:07

出典は某工業製品メーカー作成の統計教育テキストですが解説がほとんど無く。私はこのテキストに従う必要があるのですが分からないまま使えないので。質問前に以下のサイトを見つけましたが答えまでは…。
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/mb-arc/arc035/08125.html
答えが見つからなかったら又ここで質問するかもしれません。
ありがとうございました。

ちょい足しを取り消しますが
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