数学の問題！！

kosuke_vvさん

↑OA=a, ↑OB=b, ↑OC=c と記載します。
内積を計算しておきます。
(a,b)=1*2*cos∠AOB=(-1/2)
(b,c)=0 (∵OB⊥OC)
(c,a)=0 (∵OA⊥OC)

１
AD:DB=t:(1-t)....とします。
↑OD=(1-t)a+tb ・・・①
↑AB=b-a ・・・②
OD⊥ABより、(↑OD,↑AB)=0 ・・・③
①、②を３に代入します。

((1-t)a+tb)(b-a)
=(1-t)(a,b)-(1-t)|a|^2+t|b|^2-t(a,b)
=(1-t)(-1/2)-(1-t)+4t-t(-1/2)
=6t-(3/2)=0
従って、t=(1/4)

AD:DB=(1/4):(3/4)=1:3
Dは線分ABを1:3に内分する ・・・【答】

↑OD=(3/4)a+(1/4)b
|↑OD|^2=(9/16)|a|^2*(3/8)(a,b)+(1/16)|b|^2=(10/16)
よって、|↑OD|=(√10)/4 ・・・【答】

四面体の体積V
∠AOB=θとすれば
cosθ=(-1/4) ⇔ (cosθ)^2=(1/16)
⇔ (sinθ)^2=(15/16) ⇔ sinθ=(√15)/4

V=△OAB*OC*(1/3)=1*2*(√15)/4*(1/2)*1*(1/3)=(√15)/12


２．
Eは平面ABC上の点であるので
E=(1-s-t)a+sb+tc とおける

またEは平面ABCへの垂線なので
OE⊥AC,OE⊥BCであるから
↑OE・↑AC=0 ・・・④
↑OE・↑BC=0 ・・・⑤
が成立する。

④より
((1-s-t)a+sb+tc)・(c-a)=3s+4t-2=0
⑤より
((1-s-t)a+sb+tc)・(c-b)=-9s+t+1=0
これより、s=(2/13)、t=(5/13)

従って↑OE=(6/13)a+(2/13)b+(5/13)c ・・・【答】

↑DC=c-↑OD=(-3/4)a-(1/4)b+c

↑DE=↑OE-↑OD=(-15/52)a-(5/52)b+(5/13)c
........=(5/13)↑DC ・・・【答】