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リーマン幾何学と微分幾何学の違いは何でしょうか?

wwe111nssiiddさん

2010/6/810:49:59

リーマン幾何学と微分幾何学の違いは何でしょうか?

リーマン幾何学は微分幾何学の1分野だと思うのですが、微分幾何学を学べば自然にリーマン幾何学を学べていると考えていいのですか?

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kxgxtxrxさん

2010/6/1014:35:32

なるほど、私も同じ疑問を持ったことはあります。。
私の感覚としては、微分幾何学は幾何学的対象への研究手法・アプローチの仕方を表す用語であって、リーマン幾何学は幾何学の体系そのものを表す用語である、という感じでしょうか。。
代数的手法を使う研究なら代数幾何、解析的なら微分幾何、・・・、一方、平坦な世界で幾何学を展開しているのがユークリッド幾何、曲がった世界で幾何学を展開しているのがリーマン幾何、・・・、みたいな。。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2010/6/1100:47:10

>リーマン幾何学は微分幾何学の1分野だと思うのですが

これはその通りだと思います。
一般に微分幾何学は、"距離”というものを考えなくても幾何学は構築できます。
しかし、ここにリーマン計量を導入することで”距離”、あるいは”長さ”というものを考えることができます。

微分多様体がリーマン計量を持つ時、それをリーマン多様体と言う
リーマン多様体上の幾何学がリーマン幾何学である

というのが一般的な説明だと思います。

>微分幾何学を学べば自然にリーマン幾何学を学べていると考えていいのですか?

これは教科書によると思います。
最初から一般相対論を意識して書かれた本は早くからリーマン幾何の説明が出てきますが、
一般的な微分幾何や、多様体の教科書ではリーマン幾何は教科書の中ごろからやや後半に出てくることが多いように思います。

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