固有値が１つしかない行列のｎ乗を求める際、 対角化以外の方法で解くしかないでし...

amirin070さん

A=
(1.....1)
(-1...3)

の固有方程式は
λ^2-4λ+4=0
(λ-2)^2=0
λ=2(重解）

固有値が重解をもつときのA^nですねo(^-^)o

いろんな方法があります。代表的な４つを紹介しますね(^0^)/


(方法1)Aの式を整式視する。
ケーリーハミルトンの定理より、
A^2-4A+4E=O
(A-2E)^2=O........(0)

AとEは交換可能なので、AとEだけでできた式は、まるで整式みたいに扱うことができます。この問題では、

x^n=(x-2)^2*Q(x)+px+q.......(1)

ならば、

A^n=(A-2E)^2*Q(A)+pA+qE.......(2)

が成立します(^0^)/

(1)にx=2を代入して、
2^n=2p+q.........(3)

(1)の両辺をxで微分して、
nx^(n-1)=2(x-2)Q(x)+(x-2)^2Q'(x)+p......(4)

(4)にx=2を代入して、
n*2^(n-1)=p.....(5)

(3)に代入して、
q=2^n-2p=2^n-n*2^n
=(1-n)*2^n.........(6)

(2),(5),(6)より

A^n=(A-2E)^2*Q(A)+{n*2^(n-1)}A+{(1-n)*2^n}E
={n*2^(n-1)}A+{(1-n)*2^n}E

です。((0)より）これを成分計算してくださいねo(^-^)o



(2)二項定理を使う方法
重解をもつ2×2の行列のときにだけ使える方法なんですけど、

ケーリーハミルトンの定理より
(A-2E)^2=Oなので、A-2E=Bっておきますo(^-^)o
そしたらB^2=O、A=B+2Eですね。

A^n=(B+2E)^n
=∑[k=0～n](nCk)*B^k*(2E)^(n-k)
=(nC0)(2E)^n+(nC1)B(2E)^(n-1)+(B^2以上の式)
.............................................................↑...Oです(^0^)
=(2^n)E+n*(2^(n-1))B
=(2^n)E+n*(2^(n-1))(A-2E)
={n*2^(n-1)}A+{(1-n)*2^n}E

で、同じ結果になりますねo(^-^)o



(方法3) ケーリーハミルトンの式の変形で
A^2-4A+4E=O
A(A-2E)=2(A-2E)

よって
A^n(A-2E)=2^n(A-2E)
A^(n+1)-2A^n=2^n(A-2E)

両辺を2^(n+1)で割り、B[n]=(1/2^n)A^nとすると、
B[n+1]-B[n]=(1/2)(A-2E)

よって

B[n]=∑[k=1～(n-1)]{B[k+1]-B[k]}+B[1]
=∑[k=1～(n-1)]{(1/2)(A-2E)}+B[1]
=(1/2)(n-1)(A-2E)+(1/2)A
=(1/2)nA+(1-n)E

よって、A^n=2^n*B[n]={n*2^(n-1)}A+{(1-n)*2^n}E

でやっぱり同じ結果ですねo(^-^)o


(方法4)ジョルダンの標準形で
2次で固有値重解の場合、対角化は無理なので
ジョルダンの標準形になおします。

まず、(A-2E)(→x1)=(→0)となる固有列ベクトル→x1を求めます。

A-2E=

(-1...1)なので、
(-1...1)

→x1=(1)なんかがいいですね。
.........(1)

次に(A-2E)(→x2)=(→x1)となる列ベクトル→x2をもとめます。

→x2=(1)なんてどうでしょうo(^-^)o
.........(2)

で、

A[→x1...→x2]=[2(→x1)......2(→x1)+(→x2)]

=[→x1...→x2](2....1)
......................(0....2)

が成り立つのはO.K.ですか。

よって、
A(1.....1)=(1....1)(2....1)
..(1.....2)..(1....2)(0....2)

P=(1....1)...J=(2...1)とおくと、
....(1....2).......(0...2)

AP=PJ
(P^(-1))AP=J=2*(1....(1/2))
...........................(0.........1.)

両辺をn乗して、

(P^(-1))(A^n)P=2^n.(1...(1/2)n)......(*)
................................(0.......1....)

これに左からP, 右からP^(-1)をかけるとA^nが求まります。


(*)で右辺のn乗が簡単に求められる理由

(1.....a)のn乗は(1....na)ですo(^-^)o
(0.....1)...........(0......1)