４×４の正方行列Ａのn乗（n=1,2,3）を求める」 この問題の解き方を教えてください。

b50a224bさん

n×nの正方行列同士の掛け算は、基本的なものなのでマスターして下さい。
｜ABCD｜ ｜abcd｜
｜EFGH｜ ｜efgh｜
｜JKLM｜×｜jklm｜
｜NOPQ｜ ｜nopq｜

の掛け算の場合、前の第1行と、うしろの第1列をかけます。
｜ABCD｜と
｜a｜
｜e｜
｜j｜
｜n｜ですね。

具体的には、
A×a＋B×e＋C×j＋D×nを計算します。説明の都合上、これをアとします。

次に、前のほうの第1行と、うしろのほうの第2列をかけます。
｜ABCD｜と
｜b｜
｜f｜
｜k｜
｜o｜ですね。

A×b＋B×f＋C×k＋D×oをします。説明の都合上、これをイとします。

以降、第1行と第3列：A×c＋B×g＋C×l＋D×pをウとします。
第1行と第4列：A×d＋B×h＋C×m＋D×qをエとします。

｜ABCD｜ ｜abcd｜ ｜アイウエ｜
｜EFGH｜ ｜efgh｜ ｜ ｜
｜JKLM｜×｜jklm｜＝｜ ｜
｜NOPQ｜ ｜nopq｜ ｜ ｜

のように計算します。

以降、第2行と第1列：E×a＋F×e＋G×j＋H×n＝オ
第2行と第2列：E×b＋F×f＋G×k＋H×o＝カ
第2行と第3列：E×c＋F×g＋G×l＋H×p＝キ
第2行と第4列：E×d＋F×h＋G×m＋H×q＝ク

第3行と第1列：J×a＋K×e＋L×j＋M×n＝ケ
第3行と第2列：J×b＋K×f＋L×k＋M×o＝コ
第3行と第3列：J×c＋K×g＋L×l＋M×p＝サ
第3行と第4列：J×d＋K×h＋L×m＋M×q＝シ

第4行と第1列：N×a＋O×e＋P×j＋Q×n＝ス
第4行と第2列：N×b＋O×f＋P×k＋Q×o＝セ
第4行と第3列：N×c＋O×g＋P×l＋Q×p＝ソ
第4行と第4列：N×d＋O×h＋P×m＋Q×q＝タ

を順次計算し、

｜ABCD｜ ｜abcd｜ ｜アイウエ｜
｜EFGH｜ ｜efgh｜ ｜オカキク｜
｜JKLM｜×｜jklm｜＝｜ケコサシ｜
｜NOPQ｜ ｜nopq｜ ｜スセソタ｜

を作ります。

これが行列同士の計算方法で最も基本となるものです。


(i) n=1のとき
計算する必要はないので、そのまま、

｜0100｜
｜0010｜
｜0001｜
｜1000｜
を答えます。

(ii) n=2のとき
A×Aを計算します。
｜0100｜ ｜0100｜
｜0010｜ ｜0010｜
｜0001｜X｜0001｜から、
｜1000｜ ｜1000｜

｜0010｜
｜0001｜
｜1000｜
｜0100｜
を得ます。

(iii) n=3のとき
(ii)の結果に更にAをかけて、
｜0010｜ ｜0100｜
｜0001｜ ｜0010｜
｜1000｜X｜0001｜から、
｜0100｜ ｜1000｜

｜0001｜
｜1000｜
｜0100｜
｜0010｜
を得ます。


ちなみに、
(iv) n=4のとき、
(iii)の結果に更にAをかけると、
｜1000｜
｜0100｜
｜0010｜
｜0001｜
となります。
対角線上に「1」がならび、それ以外の数字は全て「0」です。

このような特徴をもった行列のことを「単位行列」と呼びます。
単位行列は、何をかけても、何にかけられても、同じ行列を返すという特性があります。

一般の数字でいう「1」みたいなものです。
つまり、
1×1＝1、1×2＝2、1×3＝3、1×4＝4、……、
1×1＝1、2×1＝2、3×1＝3、4×1＝4、……、
みたいな働きがあります。

従って、A^4が単位行列になることがわかりましたから、これに更にAをかけて、n=5の場合の計算をしたとすると、結局Aと同じものが得られます。
n=6の場合も同じで、A×Aと同じものになります。

さて、以上を一般化しますと、
（k=1, 2, 3, ……とします）

n=4kのとき、
Aのn乗は、
｜1000｜
｜0100｜
｜0010｜
｜0001｜

n=4k-3のとき、
Aのn乗は、
｜0100｜
｜0010｜
｜0001｜
｜1000｜

n=4k-2のとき、
Aのn乗は、
｜0010｜
｜0001｜
｜1000｜
｜0100｜

n=4k-1のとき、
Aのn乗は、
｜0001｜
｜1000｜
｜0100｜
｜0010｜

と一般化することができました。