aを正の実数とする。放物線C:y=x^2＋1上の点(a、a^2＋1)における、接線をlとする。...

bow48pさん

放物線 C : y = x^2 + 1 上の点（a, a^2+1）における接線 l の方程式は
f(x) = x^2 + 1 とおくと （ f’(x) = 2x より f’(a) = 2a ）
y - f(a) = f’(a) × (x - a)
y - (a^2+1) = 2a × (x - a)
y = 2ax - 2a^2 + a^2 + 1
よって y = 2ax - a^2 + 1 （式１）
と求まる

接線 l と x軸との交点が点Qであるから
（式１） を y = 0 としたときの xの値が 交点Qの x座標になるから
2ax - a^2 +1 = 0
x = (a^2 - 1) / 2a = (1/2)a - 1/(2a)
よって 点Qの座標は（(1/2)a - 1/(2a), 0）

接線 m の接点は放物線 C 上にあるので 接点を (b, b^2+1) とおくと
接線の方程式は （式１） と同様に y = 2bx - b^2 + 1 となる（ただし a≠b）
これが点Qを通ることから
0 = 2b × { (1/2)a - 1/(2a) } - b^2 + 1
b^2 - ( a - 1/a ) b - 1 = 0
解の公式で解くと
b = { ( a - 1/a ) ± sqrt( a^2 - 2 + 1/a^2 + 4 ) } / 2
b = { ( a - 1/a ) ± ( a + 1/a ) } / 2
ここで a≠b より b = -1/a
これより こちらの接点の座標は （-1/a, 1/a^2 + 1） となる

求める面積 S(a) は
S(a) = ∫(x^2 + 1) dx (x : -1/a → a)
- （{(1/2)a-1/(2a)} - (-1/a)）（1/a^2+1）/2 - （a - {(1/2)a-1/(2a)}）（a^2+1) / 2
= a^3/3 + a - (-1/a)^3/3 - (-1/a) - {(1/2)a+1/(2a)}(1/a^2+1)/2 - {(1/2)a+1/(2a)}(a^2+1)/2
= a^3/3 + a + 1/a + 1/(3a^3) - {(1/2)a+1/(2a)}{(1/a^2+1)+(a^2+1)} / 2
= a^3/3 + a + 1/a + 1/(3a^3) - (a+1/a)^3/4
= (a+1/a)^3/3 - (a+1/a)^3/4
= (a+1/a)^3/12
よって S(a) = 1/12 × (a+1/a)^3
a > 0 より
（相加平均）≧（相乗平均）の性質を用いて
a + 1/a ≧ 2 sqrt (a×1/a) = 2 ： 等号成立は a = 1/a つまり a = 1 のとき
よって S(a) は a = 1 のとき 最小値
S(1) = 1/12 × 2^3 = 8/12 = 2/3
をとる

カナ文字に当てはめると ･･･
[ア] 2 [イ] 1 [ウ] 1 [エ] 2 [オ] 1 [カ] 2 [キ] - [ク] 1
[ケ] 1 [コ] 1 [サ] 2 [シ] 1 [ス] 1 [セ] 2 [ソ] 3

これでいかがでしょうか？

----------（補足）----------
式だけでは分かりづらかったかもしれません，
図を貼り付けたいのですが，編集の欄に図の追加のフォームが無いので，
http://www.geocities.jp/midori_51/img/u1014.jpg
こちらに UP いたしました． 参考までに ・・・