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(大学数学)三角化、対角化の問題です。

lllsmile0v0さん

2011/5/523:48:31

(大学数学)三角化、対角化の問題です。

途中式も含めて教えて頂けると助かります。

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pycckarさん

2011/5/1113:55:53

(1)
正則行列を
B=(1..0)
.....(1..1)ととると、
B^(-1)=(1..0)
............(-1..1)だから、
B^(-1)AB=(5...4)
.................(0.-3)となる。

(2)
固有値は、(2-x)(2-x)-9=0より、x^2-4x-5=0,(x-5)(x+1)=0
∴ 5,-1
固有値5に対応する固有ベクトルは、
-3x+3y=0
3x-3y=0 ⇒ x=y

固有値-1に対応する固有ベクトルは、
3x+3y=0
3x+3y=0 ⇒ y = -x

B=(1/√2..1/√2)
....(1/√2..-1/√2)ととると、
B^(-1)=(1/√2...1/√2)
............(1/√2...-1/√2)だから、

B^(-1)AB=(5...0)
.................(0..-1)

(3)
固有値は、(-x)(-x)-i^2=0、x^2+1=0
i,-i
固有値iの固有ベクトルは、
-ix+iy=0
ix-iy=0 より、y=x

固有値-iの固有ベクトルは、
ix+iy=0
ix+iy=0より、y=-x

B=(i/√2...i/√2)
....(i/√2..-i/√2)ととると、
B^(-1)=(-i/√2...-i/√2)
............(-i/√2.....i/√2)となるので、
B^(-1)AB=(i..0)
.................(0.-i)
となる。

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