解決済みの質問

数学の問題です。≪平面への垂線≫

数学の問題で解き方が分からないものがあったので、どなたか教えてください。
ベクトルの記号が書けないので、→を直前に書くことにします。

引用開始

空間内に4点A(3,6,0)、B(1,4,0)、C(0,5,4)、D(3,4,5)をとり、点Ｄから平面ＡＢＣに垂線ＤＨを下ろす。
点Ｈは平面ＡＢＣ上にあるから、→ＡＨ=s→AB+t→AC(s,tは実数）をおける。
→ＤＨ⊥→ＡＢから（ア）s+（イ）t-1-0
→ＤＨ⊥→ＡＣから（ウ）s+（エオ）t-11=0

したがってs=（カキ）/（ク）,t=（ケ）となり、H( コ , サ , シ )である。

引用終了
この記号に入る数字を入れる問題なのですが、解き方が全く分かりません。
どなたか解説よろしくお願いします。

この質問は、活躍中のチエリアンに回答をリクエストしました。

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質問日時：

2012/2/12 22:09:51
解決日時：

2012/2/14 00:38:44
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ベストアンサーに選ばれた回答

to_higherさん

A(3,6,0)
B(1,4,0)
C(0,5,4)
D(3,4,5)

AB=(-2,-2,0)
AC=(-3,-1,4)
AD=(0,-2,5)

AH=sAB+tAC
=s(-2,-2,0)+t(-3,-1,4)
=(-2s-3t,-2s-t,4t)

よって、
DH=AH-AD
=(-2s-3t,-2s-t,4t)-(0,-2,5)
=(-2s-3t,-2s-t+2,4t-5)

ここで、
DH⊥ABより、
DH･AB=0
(-2s-3t,-2s-t+2,4t-5)･(-2,-2,0)=0
4s+6t+4s+2t-4=0
8s+8t-4=0
2s+2t-1=0 ･･･ｱｲ･･･①

また、
DH⊥ACより、
DH･AC=0
(-2s-3t,-2s-t+2,4t-5)･(-3,-1,4)=0
6s+9t+2s+t-2+16t-20=0
8s+26t-22=0
4s+13t-11=0 ･･･ｳｴｵ･･･②

②-①×２より、
4s+13t-11=0
4s+4t-2=0

9t-9=0
t=1 ･･･ｹ

2s+2-1=0
s=-1/2 ･･･ｶｷｸ

したがって、
AH=(-2s-3t,-2s-t,4t)
=(1-3,1-1,4)
=(-2,0,4)

OH=AH-AO
=AH+OA
=(-2,0,4)+(3,6,0)
=(1,6,4) ･･･ｺｻｼ

.