数Ⅱの問題です。 ｘ＋ｙ＞＝３ ｘ＾2＋ｙ＾2-２ｘ-４ｙ+3＜＝0 を満たすとき、 ｘ...

h7n2g3さん

最初に x + y ≧ 3 かつ x² + y² - 2x - 4y + 3 ≦ 0 の領域をグラフで表します。

x + y ≧ 3 は y ≧ -x + 3 より y = -x + 3 より上の領域

x² + y² - 2x - 4y + 3 ≦ 0 は (x - 1)² + (y - 2)² ≦ 2 より

(1, 2) を中心とする半径 √2 の内部です。図に表すと

下の青い領域のようになります。

(1)
x² + y² = k² とすると (0, 0) を中心とする半径 k の円(赤い円)です。

円が青い領域を通り最小になるのは下の図で表している小さい方の

赤い円のように円が x + y = 3 の直線に接しているときです。

このときの半径 k を求めるには (0, 0) と x + y - 3 = 0 の距離を求めればいいので

k = |0 + 0 - 3|/√(1² + 1²) = 3/√2 です。

最大については下の図に表している大きい方の赤い円のようになればいいです。

半径 k の大きさは

k = 『(0, 0) から (1, 2) までの距離』 + 『青い円の半径』 なので

k = √(1² + 2²) + √2 = √5 + √2 です。

以上から 3/√2 ≦ k ≦ √5 + √2 なので 3/2 ≦ k² ≦ 7 + 2√10

3/2 ≦ x² + y² ≦ 7 + 2√10 ですね☆

(2)
2x + y = k とします。直線 y = -2x + k が青い領域を通り

y切片 k を最も小さくするのは下の図の緑の直線のように

青い領域の左端のかどをかするように通るときでありy切片 k = 3 です。

k を最も大きくするのは直線 2x + y - k = 0 が (x - 1)² + (y - 2)² = 2 に接する

ときであり、2x + y - k = 0 と (1, 2) の距離が半径 √2 になる k を求めればOKです。

|2×1 + 2 - k|/√(2² + 1²) = √2

|k - 4| = √10 より k = 4 ± √10 であり、大きい方の k = 4 + √10 です。

3 ≦ k ≦ 4 + √10 より

3 ≦ 2x + y ≦ 4 + √10 となりますね(v^-^)