微分方程式についてです！

wat_attさん

aac_miranさん


〔補足につきまして〕

すみません、一言断れば良かったですね（汗

A, B は任意定数です。C1, C2 などで書いたりもします。一般解には、微分方程式の階数の数だけ含まれます。

今回の問題には 2 階微分まで出てきていますので、 2 つの任意定数が含まれています。

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まずは微分演算子を用いて特解を求めます。

d^2u/dt^2 + 5du/dt + 6u = e^t

(d^2/dt^2 + 5d/dt + 6)u = e^t

u = (d^2/dt^2 + 5d/dt + 6)^(-1)・e^t

このとき、右辺が = e^(at) の形であれば、 d/dt = a, d^2/dt^2 = a^2 と置き換えられます。今回は a = 1 ですので、

u = (1^2 + 5*1 + 6)^(-1)・e^t = e^t/12


次に、斉次形

d^2u/dt^2 + 5du/dt + 6u = 0

の一般解を求めます。

λ^2 + 5λ + 6 = 0
(λ + 2)(λ + 3) = 0
λ = -2, -3

より、一般解は

u = Ae^(-2t) + Be^(-3t)

と書けます。よって、求める微分方程式の解は特解と一般解の和で表され、

u = e^t/12 + Ae^(-2t) + Be^(-3t) …（答）