留数の求め方

suzukishigeo3968さん

修正しました。

極、z=-1 での留数は

lim[z→-1]{(z+1)/z(z+1))} = -1 です。

又、1/{z(z+1)}=1/z-1/(z+1)=1/z+(-1)/(z+1)からでも、

極、z=0の時の留数は1、又、極、z=-1の時の留数は(-1)とわかります。


以下、一般的な事を記します。

(1)....展開しない時、

与えられた関数を一般にf(z)とします。

この時、lim[z→α]|f(z)|→∞ の時、z=αはf(z)の特異点といいます。

又、lim[z→α](z-α)^n*f(z)=k (0でない定数）ならば、

z=αはf(z)のｎ位の極といいます。その時の留数 a は、一般に、

...a=1/(n-1)!lim[z→α](d/dz)^(n-1){(z-α)^n*f(z)}

特に、z=αが1位の極の時には

...a=lim[z→α]{(z-α)*f(z)}

(2).....展開する時、極、z=0を中心に展開して、0＜|z|＜1の時、

1/z(z+1) = 1/z{1+(-z)+(-z)^2+(-z)^3+...}

=1/z-1+z-z^2+・・・・

よって、極、z=0での留数は1

又、極、z=-1を中心に展開して、0＜|z+1|＜1の時、

1/z(z+1) ={1/(z+1)}{-1/(1-(z+1))}=1/(z+1){-1-(z+1)-(z+1)^2-(z+1)^3-...}

=-1/(z+1)-1-(z+1)-(z+1)^2-・・・・

よって、極、z=-1での留数は(-1)

つまり、それぞれの極を中心に展開した時に留数が見つかります。