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留数の求め方

skaekndesさん

2012/3/2112:15:35

留数の求め方

留数の求め方がわかりません。例えば1/z(z+1)という関数を例にとると、これは自分には0と-1が一見、特異点でそれぞれ1位の極のように思います。これに従い留数を求めると、lim[z→0]{z*(1/z(z+1))} = 1,
lim[z→1]{z*((z+1)/z(z+1))} = 1,でともに留数は1になります。しかし、実際はzの範囲で留数は変わります。
ローラン展開すると0 < |z| < 1のとき
1/z(z+1) = 1/z{1+(-z)+(-z)^2+(-z)^3+...}で特異点0での留数は1です。
しかし1 < |z|のときは
1/z(z+1) = (1/z^2) - (1/z^3) + (1/z^4) - (1/z^5) + ... で特異点0の留数は0です。

この違いはどこからくるものでしょうか。

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編集あり2012/3/2614:49:17

修正しました。

極、z=-1 での留数は

lim[z→-1]{(z+1)/z(z+1))} = -1 です。

又、1/{z(z+1)}=1/z-1/(z+1)=1/z+(-1)/(z+1)からでも、

極、z=0の時の留数は1、又、極、z=-1の時の留数は(-1)とわかります。


以下、一般的な事を記します。

(1)....展開しない時、

与えられた関数を一般にf(z)とします。

この時、lim[z→α]|f(z)|→∞ の時、z=αはf(z)の特異点といいます。

又、lim[z→α](z-α)^n*f(z)=k (0でない定数)ならば、

z=αはf(z)のn位の極といいます。その時の留数 a は、一般に、

...a=1/(n-1)!lim[z→α](d/dz)^(n-1){(z-α)^n*f(z)}

特に、z=αが1位の極の時には

...a=lim[z→α]{(z-α)*f(z)}

(2).....展開する時、極、z=0を中心に展開して、0<|z|<1の時、

1/z(z+1) = 1/z{1+(-z)+(-z)^2+(-z)^3+...}

=1/z-1+z-z^2+・・・・

よって、極、z=0での留数は1

又、極、z=-1を中心に展開して、0<|z+1|<1の時、

1/z(z+1) ={1/(z+1)}{-1/(1-(z+1))}=1/(z+1){-1-(z+1)-(z+1)^2-(z+1)^3-...}

=-1/(z+1)-1-(z+1)-(z+1)^2-・・・・

よって、極、z=-1での留数は(-1)

つまり、それぞれの極を中心に展開した時に留数が見つかります。

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2012/3/2115:08:48

積分路を無視いているのが問題です。
ローラン展開
1/z(z+1) = (1/z^2) - (1/z^3) + (1/z^4) - (1/z^5) + ...
は、特異点を2個含んだ場合の展開式です。
なので、特異点0の留数をそのローラン展開からは求められません。

特異点、0と-1を含んでいます。
云えることは
Res(f(0))+Res(f(-1))=1/zの係数
であって、決して、
Res(f(0))=1/zの係数
とはなりません。

尚、
Res(f(0))+Res(f(-1))=1/zの係数=0
であり、Res(f(0))=1 ですから、
Res(f(-1))=-1
ですね。

冒頭で示めされた極-1の留数計算はミスってますね。

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anon_g1さん

編集あり2012/3/2315:33:33

1 < |z| でのローラン展開の 1/z の項は、留数と言いません。

すくなくとも、1 位の極 z=0 の留数とは言いません。

極の近傍(で極以外)と言えば、0<|z|<1 の円環領域であり、
そこでのローラン展開の 1/z の係数が 1 位の極 z=0 の留数です。

(1つ上の回答に)
留数は、関数と、孤立特異点の場所を指定すれば決まる、局所的な量です。
積分経路なんか関係するはずありません。
積分経路が関係するなら、Res(f,経路) とすべきですが、
そうは書かないでしょ?

孤立特異点 z=0 の近傍は 0<|z|< ε ( < 1 ) なので、
z=0 での留数は 0 < |z| < 1 でのローラン展開の 1/z の係数として決まります。
(z=1 での留数は、 0 < |z-1| < 1 でのローラン展開の 1/(z-1) の係数として決まる。
みなさん、書いてる様に、こっちの留数は、
lim[z→-1]{((z+1)/z(z+1))} = -1 の間違いですね。)

(元の質問への回答に追記)
|z| >1 の方の表示は、 lim[z->0] の極限とれないでしょ?
ただ、それだけの話です。

(へが屁になっていたので修正 ^^;;;; )

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