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大学の物理の問題です。 ある惑星が原点にある恒星から万有引力を受けて円運動を...

nahc_usさん

2011/11/623:32:01

大学の物理の問題です。
ある惑星が原点にある恒星から万有引力を受けて円運動をしていたが、ある瞬間恒星の質量が半分になり、万有引力も半分になったとする。
このとき惑星の運動の軌道が放物線になった。

このことを証明したいのですが、よく分からないので分かる方がいたらぜひ回答をよろしくおねがいします!
できれば、数式などを使っておねがいします!

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ベストアンサーに選ばれた回答

yokkun831さん

編集あり2011/11/811:38:02

恒星質量M,惑星質量m,万有引力定数G
円軌道半径a,軌道速度v0

円運動の方程式より
mv0^2/a = GMm/a^2
∴mv0^2/2 = GMm/(2a), v0 = √(GM/a)

したがって,力学的エネルギーは
E = mv0^2/2 - GMm/(2a) = 0

v0は第2宇宙速度であり楕円軌道になることは知られていますが,計算してみましょう。
以下,「'」で時間微分を示します。極座標(r,θ)を用います。

エネルギー保存
m/2・(r'^2 + r^2θ'^2) - GMm/(2r) = 0
角運動量保存
mr^2θ' = mav0

∴θ' = av0/r^2 = √(GMa)/r^2
∴r' = √{ GM(1/r - a/r^2) }

したがって

dr/dθ = r'/θ' = r√(r/a - 1)

tan u = √(r/a - 1) とおくと,
θ = ∫dr/{ r√(r/a - 1) } = 2u
∴tan(θ/2) = √(r/a - 1)
すなわち,
r = 2a/(1 + cosθ)

最後の式は極座標による放物線の式になっています。

質問した人からのコメント

2011/11/10 22:23:37

降参 ありがとうございました!!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

k032yfさん

2011/11/708:51:10

nahc_usさん

1.
F=GMm/R^2=mv^2/R
mv^2=GMm/R

2.
E=(1/2)mv^2-G(M/2)m/R=0
???

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