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力学的エネルギーの散逸 yokkun831さんの説明に疑問があります。

ash********さん

2013/1/1122:10:31

力学的エネルギーの散逸 yokkun831さんの説明に疑問があります。

解決済みの問題ですが疑問があります。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1399741998

ニュートンの第二法則から
m g sin θ = dp/dt = m dv/dt + v dm/dt
m = ρ x
なので
ρ x g sin θ = ρ x dv/dt + ρ v dx/dt
従って
dx/dt = 0 for x = 0
d^2x/dt^2 + (1/x) (dx/dt)^2 = g sin θ for x > 0 ......1

***

ここまではあなたの解と同じです。違うのはエネルギー保存則で解いた場合です。上のリンク先では回転運動は運動エネルギーを保存すると私も勘違いしていました。後に気付き帰宅後修正するつもりでしたが、ベストアンサーが決まってしまっていて修正できませんでした。以下修正した解を書きます。

***

系の運動エネルギーKは
K = (1/2) m v^2
m = ρx
なので
K = (1/2) ρx v^2

系の位置エネルギーUは
U = ρx g (x_0 - x) sin θ + ∫_[x, x_0] ρg (x_0 - x) sin θ dx
ここでx_0は山のふもとの位置である。位置エネルギーが雪崩が合体する前の雪の質量を含んでいることに注意。右辺第二項を積分して
U = ρg (x_0 - x) x sin θ + (1/2)ρg (x_0 - x)^2 sin θ

運動エネルギーの散逸速度をxの関数として求めると
dK/dx = (1/2) ρ v^2
となる。従って散逸した運動エネルギーK'は
K' = (1/2) ρ∫_[0,x] v^2 dx
となる。運動エネルギーと位置エネルギーの比較からv^2がxの一次の関数であることはエネルギー保存の十分条件であることが分かる。そのように仮定して積分すると
K' = (1/4) ρx v^2
となる。

従って散逸したエネルギーを含めた全エネルギーの合計Eは
E = K + K' + U = (3/4) ρx v^2 + ρg (x_0 - x) x sin θ + (1/2)ρg (x_0 - x)^2 sin θ
初期条件
v = 0 at x = 0
から
E = (1/2)ρg x_0^2 sin θ
従って
(3/4) ρx v^2 + ρg (x_0 - x) x sin θ + (1/2)ρg (x_0 - x)^2 sin θ = (1/2)ρg x_0^2 sin θ
v = √[(2/3) g sin θ x] ......2

式2を式1に代入して
d^2x/dt^2 = (1/3) g sin θ ......3
を得る。

***

あなたのリンク先
http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/165.html
に「非弾性衝突モデルで散逸する力学的エネルギーは,巻き取りモデルにおいては回転の運動エネルギーに相等するわけである。」とありますが、それは上記のK'がたまたま回転の運動エネルギーと一致したための誤解と思います。私の計算では回転を考慮した場合もエネルギーは散逸します。巻き取りモデルの運動方程式はどうなりますか。その結果が回転を考慮しない場合と一致することを示していただきたくお願いします。

補足エネルギーの散逸の計算。

運動エネルギーKと運動量Pと角運動量Lを既に付着した雪のK'とP'とL'およびこれから付着する雪のK''とP''とL''に分ける。

1 重心の並進運動
dK' = m v dv
dK'' = (1/2) v^2 dm
dK = dK' + dK'' = m v dv + (1/2) v^2 dm

dP' = m dv
dP'' = v dm
dP = dP' + dP'' = m dv + v dm

F dt = dP
なので力Fが行なう仕事Wは
dW = F dx = F v dt = v dP
散逸するエネルギーdEは
dE = dK - dW = m v dv + (1/2) v^2 dm - v (m dv + v dm) = - (1/2)ρv^2 dx

2 重心の周りの回転運動
これから付着する雪が運動エネルギーと角運動量を持っていることに注意。
dK' = (1/2) m r w^2 dr + (1/2) m r^2 w dw
dK'' = (1/4) m r^2 w^2 dm - (1/4) m r^2 w^2 dm = 0
dK = dK' + dK'' = (1/2) m r w^2 dr + (1/2) m r^2 w dw

dL' = m r w dr + (1/2) m r^2 dw
dL'' = (1/2) m r^2 w dm - (1/2) m r^2 w dm = 0
dL = dL' + dL'' = m r w dr + (1/2) m r^2 dw

T dt = dL
なのでトルクTが行なう仕事Wは
dW = T dθ = T w dt = w dL
散逸するエネルギーdEは
dE = dK - dW = (1/2) m r w^2 dr + (1/2) m r^2 w dw - w (m r w dr + (1/2) m r^2 dw) = - (1/4)ρv^2 dx
ここで
dr/r = dx/(2 x)
である。

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yok********さん

編集あり2013/1/1600:51:39

回転を考慮しないモデルでは,運動エネルギー散逸の原因を初めから非弾性衝突に求めています。したがって,具体的な「抵抗力」=衝突の撃力をあらわにせず,運動方程式を
mx'' + mx'^2/x = mg sinθ
と得ました。

回転を考慮するモデルでは,並進運動エネルギーの散逸の原因を初めから回転運動のエネルギーに求めています。つまり,初めに力学的エネルギー保存ありきの議論なのです。ここにはひとつの難題が横たわっています。それは,並進運動については散逸の原因(抵抗力)をあからさまにせず
mx'' + mx'^2/x = mg sinθ
のまま使おうというわけですが,重心まわりの回転運動については抵抗力によるトルクτを導入せざるをえません。ここに単純化において生じる矛盾があります。回転の運動方程式は,
Iω' + I' ω = τ
となります。

これは,単に力学的エネルギー散逸のない巻き取りにおいて必然とされる抵抗力によるトルクを与える方程式となります。r = 一定のモデルでは
τ = mgr sinα/2
を得ます。これを並進の運動方程式にそのよりどころを求めようとしてもうまくいかないのは当然といえると思います。

最後にもう一度確認しますが,このモデルは初めから並進運動エネルギーの散逸の原因となる力に言及していません。したがって上の結果は散逸が回転のエネルギーにすべて移行する過程で必要とされるトルクを求めたにすぎないのです。

---------------------------
その後さらに考えてみましたが,やはり無理な設定ですね。
そもそも I の値によって加速度は変わってきますよね?
したがって,I = 1/2 mr^2 の設定はつじつまあわせの限定的なものということで,ashir_gikenさんのいうとおり,「たまたま回転の運動エネルギーと一致した」というのが正しい。むしろモデルとしては I = mr^2 の方が自然です。

ですから,紹介したモデルは現実的にかなり矛盾があるけれども,散逸のないモデルとしてつじつまがあいますよ,ということなのだろうと思います(いいわけがましいですが,私の考案ではないので…)。しかし,巻き取りモデルでも新たに付け加わっていく質量は付着の瞬間に円筒面との相対速度がゼロですから,散逸のないモデルは可能なのではないでしょうか? 「私の計算では…」という部分をぜひお聞きしたいものです。

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並進運動方程式と回転運動方程式の矛盾について考察を深めてみました。

斜面の長さx0にある全ての質量について運動方程式を立てます。
重心位置
X = (x0 + x^2/x0)/2
重心加速度
X'' = (xx'' + x'^2)/x0
重心の運動方程式
ρx0 X'' = ρx g sinθ
すなわち
x'' + x'^2/x = g sinθ

円筒の重心まわり慣性モーメント
I = αmr^2 = αρx r^2
を仮定して全質量に対する重心Xまわりの回転の運動方程式を立てます。そうすることによって内力のトルクは消失します。

I' ω + I ω' + m'r^2ω + mr^2ω' = mgr sinθ
x' = rωを仮定すると
(α+ 1)(x'^2 + xx'') = xg sinθ

両式が矛盾なく成立するためには,
α=0
でなければなりません。

慣性モーメントを適当に
I = 1/2 mr^2
とおいて矛盾が生じるのはあたりまえといえるかもしれませんね。

ただし,以上の議論においてrはx0に対して十分小さいとし,巻き取りによる重心の斜面に垂直な方向への移動は無視しています(これはマズイかもしれない)。

上の展開でも単純化以上の誤りがあるかもしれません。ご検討ください。

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散逸のない系を仮定して,運動方程式がどのようになるべきかを考察してみました。
I = αρx r^2 とおきます。

ラグランジアン

L = 1/2 ρ(1+α)xx'^2 + 1/2 ρg(x0^2+x^2)sinθ
係数および定数項をのぞいて
L' = (1+α)xx'^2 + x^2g sinθ

運動方程式は
x'' + x'^2/(2x) = g sinθ/(1+α)

x''=a,x'=at,x=at^2/2 を仮定して
a = g sinθ/{ 2(1+α) }

α=1/2 のとき,「偶然」に回転を考慮しないモデルに一致することがわかります。
もちろん,この結果は力学的エネルギー保存から得られる結果と一致します。

1/2 mgx sinθ= (1+α)/2 mx'^2

x' = at,x=1/2 at^2 を仮定すると
a = g sinθ/{ 2(1+α) }

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※補足について

dr とあるところを見ると,円筒半径の変化を考慮しているのですね。
まさに「巻き取りモデル」ですね。勉強になります。
解読にはしばし時間がかかると思います。
回答へのコメントはないようですので,一応回答の目的は果たしたということになりましょうか。ご質問の目的が果たされていないとすれば,それはひとえに私の理解不足によるものとご容赦ください。

私には,すべりもない衝突もないように思われるモデルで,出てくる力Fとは重力(保存力)以外の一体何なのか,散逸の微視的な原因がどこに存するのかさえ,理解がおぼつかないところです。

質問した人からのコメント

2013/1/18 21:24:20

補足の計算に間違いがありました。
1 mを消し忘れていました。正しくは
dL'' = (1/2) r^2 w dm - (1/2) r^2 w dm = 0
です。

2 dK = dK' + dK''
の式にdmの雪塊が持っていた運動エネルギーを足すのを忘れていました。巻き取りモデルで失われるエネルギーは
dE = - (1/2)ρv^2 dx
のみです。

回答ありがとうございます。

yokkun831さんの回答への感想はエネルギーの散逸による一般化力がラグランジュの式に抜けているのではないかと思います。

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