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n≧3を自然数とし単位円周上にn個の点をとりそれらを結んでn角形を作る。そのn個の...

あーたそさん

2013/1/1322:58:29

n≧3を自然数とし単位円周上にn個の点をとりそれらを結んでn角形を作る。そのn個の内角の大きさをa1,a2,.....anとし、これらがこの順に公差が正の等差数列をなしている。 a1=135°のとき、anをnを

用いて表せ。

って問題なんですが解説をお願いします(..)
ちなみに答えはan=(225°n-720°)/n です

補足n角形の内角の総和は180(n-2)

↑は常識として暗記するべきですか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

ID非公開さん

編集あり2013/1/1414:45:51

atp_2pさん

°の表記を省略します。

初項a1、公差dの等差数列の、初項から第n項までの和は
n・a1+n(n-1)d/2
一方、n角形の内角の総和は180(n-2)だから、
n・a1+n(n-1)d/2=180(n-2)

a1=135より、
135n+n(n-1)d/2=180(n-2)
両辺を2倍して、
270n+n(n-1)d=360n-720
270nを移項して、
n(n-1)d=90n-720
両辺をnで割って、(n-1)d=(90n-720)/n

よって、
an
=a1+(n-1)d
=135+(90n-720)/n
=(135n+90n-720)/n
=(225n-720)/n

n≧3となっていますが、n=3のときa3<0になってしまうので、n≧4じゃないといけないですね。


【補足】について
常識として暗記するべきです。
n角形の1つの頂点から残りの頂点全てに対角線を引くと、n-2個の三角形に分けられるので(4角形、5角形、6角形くらいで試してみればわかると思います)、n角形の内角の総和は、180(n-2)になります。

質問した人からのコメント

2013/1/14 14:55:42

成功 わかりました

丁寧にありがとうございますm(__)m

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