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整数mに対し、f(x)=x^2-mx+m/4-1とおく。次の問いに答えよ。 ①方程式f(x)=0...

ard********さん

2013/2/219:04:13

整数mに対し、f(x)=x^2-mx+m/4-1とおく。次の問いに答えよ。
①方程式f(x)=0が、整数の解をすくなくとも一つもつようなmの値を求めよ。
②不等式f(x)=0を満たす整数が、ちょうど四個あるようなmの値を求めよ。

補足すいません二番はf(X)≦0でした。
だけど解答は±3、4になってます。
一番はあってます。

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ko5********さん

編集あり2013/2/518:37:09

f(x)=x^2-mx+m/4-1
f(x)=0の判別式をDとおくと
D=m^2-4(m/4-1)
=m^2-m+4
m^2-m+4は整数で,整数解を少なくとも1つもつことより,これは平方数でなければならないから
m^2-m+4=n^2(nは0以上の整数)
とおくと
(m-1/2)^2+15/4=n^2
(2m-1)^2+15=4n^2
(2m-1)^2-(2n)^2=-15
(2m-1+2n)(2m-1-2n)=-15
2m-1+2n,2m-1-2nはともに整数で,n≧0より2m-1+2n≧2m-1-2nだから
(2m-1+2n,2m-1-2n)=(1,-15),(3,-5),(5,-3),(15,-1)
(4m-2,4n)=(-14,16),(-2,8),(2,8),(14,16)
(m,n)=(-3,4),(0,2),(1,2),(4,4)
このときf(x)=0の解は
x=(m±n)/2
より整数となるためにはmとnの奇偶が一致する。
よって
m=0,4
(2) 不等式f(x)≦0の間違いでしょうか…?
そうだとして解答します。

f(x)=(x-m/2)^2-m^2/4+m/4-1
(i) mが偶数のとき
m=2k(kは整数)とおくと
f(x)=(x-k)^2-k^2+k/2-1
2次関数のグラフはx=kに関して対称で,軸x=kが整数よりf(x)≦0を満たす整数解は必ず奇数個になるから不適。
(ii) mが奇数のとき
(m±1)/2,(m±3)/2がf(x)≦0に含まれ,それ以外がふくまれなければよい。
対称性より,条件は
f((m+3)/2)≦0,f((m+5)/2)>0
-m^2/4+m/4+5/4≦0,-m^2/4+m/4+21/4>0
m^2-m-5≧0,m^2-m-21<0
(1-√85)/2≦m≦(1-√21)/2,(1+√21)/2≦m≦(1+√85)/2
9<√85<10,4<√21<5より
-9/2<(1-√85)/2<-4,-2<(1-√21)/2<-3/2,5/2<(1+√21)/2<3,5<(1+√85)/2<11/2
よってこの不等式をみたす整数mは
m=-4,-3,-2,3,4,5
mは奇数より
m=±3,±5
以上より
m=±3,±5

m=4のときは
f(x)=x^2-4x≦0
x(x-4)≦0
0≦x≦4
となり,整数は0,1,2,3,4の5つになってしまうように思います。
どうしてだろう…。

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