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フラクタルを適用して崩壊現象について考えました。シルピンスキーのギャスケット...

oma********さん

2013/2/304:31:32

フラクタルを適用して崩壊現象について考えました。シルピンスキーのギャスケットをモデルにします。コメントいただければ嬉しいです。

【1】ギャスケット作成操作
アルミホイルを切り取って正三角形を一つ作ります。

イニシエーターです。その正三角形の一辺の長さをL、質量をMとします。シルピンスキーのギャスケットの生成則に従い、正三角形の真ん中から縮小率が1/2の正三角形を次々とくり抜いて、ギャスケットを作って行きます。くり抜いた破片はギャスケットの周りに置いて行きます。ステップが進むと、イニシエーターの正三角形が自分自身を粉砕して、周りの空間に破片を放射しているかのように見えます。崩壊現象です。

【2】破片の質量分布
常に各部分の正三角形から、1/4だけ破片が出来ます。単位質量あたりの破片の質量は常に一定です。

ステップ1:質量M(1/4)の破片が1個
ステップ2:質量M(1/4) ^2の破片が3個
・・・
ステップi:質量M(1/4)^iの破片が3^(i-1)個

ステップiで出来る破片の総質量は

⊿M(i)=(M/3)・(3/4) ^i

です。ステップが進むに連れ、出来る破片の総質量は指数関数に従って減少します。

個数N=3^(i-1)、破片1個の質量 m=M(1/4)^i とします。
両式の対数をとってiを消去し、d=log43と置くと、

N=(1/3)・M^d・m^-d

が得られます。破片の質量分布は指数が-dのべき分布です。

破片が分布する空間はフラクタル次元がdの空間ではないでしょうか。

【3】スッテプ毎に必要な力学的エネルギー
アルミホイルを単位長さあたり切り取るのに必要な力学的エネルギーを
wとします。正三角形1個につき3辺をくり抜きます。

ステップ1:w×L(1/2)×1×3
ステップ2:w×L(1/2) ^2×3 ×3
・・・
ステップi:w×L(1/2) ^i×3 ^(i-1)×3=wL(3/2) ^i

ステップが進むに連れ、必要な力学的エネルギーは指数関数に従って増加します。

無限ステップのギャスケットを作るなら、無限に力学的エネルギーを要するのではないでしょうか。

【4】スッテプ毎に要する時間について
仮に「ステップ毎に要する時間は一定にする」というルールにしたとします。
1日1ステップ(一日一善です)づつのルールにすれば、かなり長くやれると思います。

ステップi=時間tと置きますと、

⊿M(t)=(M/3)・(3/4) ^t=(M/3)・(4/3) ^-t

が得られます。破片の総量は時間の指数関数に従って減少します。
破片の総量が崩壊現象の放射強度に比例するとします。
放射強度は指数関数に従って減少します。ただし、単位時間あたり、単位質量あたりの強度は常に一定です。

指数関数に従う崩壊現象は「ステップ毎に要する時間は一定にする」ルールではないでしょうか。

補足【1】~【3】フラクタルの教科書でギャスケットの破片の分布に着目した記述は皆無です。私は保存系で考えた方が見通しがいいと思います。フラクタルは手続きだと考えます。縮小率が1/aで分割個数がbならステップiにおいて
各部分の直径:X=L(1/a)^i
個数: N=b^i
iを消去しs=logabとし
∴N=L^sX^-s
べき分布が現れるのは自明です。L^sが保存量です。
【4】岩石崩壊は分かりません。核崩壊は時間の指数関数です。

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wyq********さん

編集あり2013/2/318:07:32

【補足】
質問じゃなくて、研究発表だったのか…。

>【1】~【3】フラクタルの教科書でギャスケットの破片の分布に着目した記述は皆無です。

オリジナルだと言いたいのかな?
「シェルピンスキーのギャスケット」を「アルミホイルの崩壊現象(何それ?)」と結び付けるという仮説をたてるのは自由だよ。
でも、実験事実をうまく説明できないでしょ?
「それでもアルミホイルはギャスケットになっている」と主張するのなら、「哲学、倫理」のカテゴリのほうが良いんじゃないかな?

【回答】
高校生かな?

【1】破片の「べき分布」と「フラクタル図形」を関係付けたいのね。

【2】計算はあってる。

>破片が分布する空間はフラクタル次元がdの空間ではないでしょうか。

フラクタル次元がdのモデルを用意しておいて、フラクタル次元がdであることを再確認してるだけ。
「x=1とする。ゆえにx=1である。」という論理になってる。
くり抜かれた破片の方に、それ以上の破壊エネルギーが残らない理由は?
あるステップでくり抜かれた破片が、そのままの大きさで残る理由は?

【3】計算はあってる。

>無限ステップのギャスケットを作るなら、無限に力学的エネルギーを要するのではないでしょうか。

アルミの原子が最小単位でしょ?
だから無限にはならない。
衝撃のエネルギーが小さければ、小さい破片は出来ない?

【4】>仮に「ステップ毎に要する時間は一定にする」というルールにしたとします。

仮定が間違ってるので、全部でまかせ。
ユーチューブなんかで高速カメラの映像を見てごらん。
細かい破片も初期のステップで発生してるから。

【※】破片が「べき分布」になるという実験事実は確かにある。
ただ、「べき分布」っていうのは、ある意味便利なんだよ。
対数をとるわけだから、少々の外れ値でもならされちゃう。
だから、純粋な「フラクタル図形」を想定する必要はないんだ。
ほぼ同時に(衝撃の伝搬速度によるラグはあるけど)発生したクラック(隙間)同士がつながるか・つながらないかで破片の大小が決まる。
そのつながる確率が「べき分布」を発生させるということ。
東日本大震災で取り沙汰された「連動型」の1つのパターンなんだ。

質問した人からのコメント

2013/2/3 21:42:00

コメントありがとうございます。以前にも倫理哲学のカテゴリを勧奨されたことがありました。補足を少し追加して解決済にします。
ステップiの残存質量はx(i)=M(3/4)^i です。
(x(i)-x(i-1))/x(i-1)
=(M(3/4)^i-M(3/4)^ (i-1))/M(3/4)^ (i-1)=-1/4
です。iを連続量、1を無限小とみなすと
(x(t+dt)-x(t))/x(t)dt=-α
の微分方程式と形式は同じです。核崩壊で出てくる微分方程式です。

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