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n階導函数を求める問題です。 f(x)=1/(1+2x) これを詳しく学びたいので、途中式...

kar********さん

2013/3/203:38:25

n階導函数を求める問題です。
f(x)=1/(1+2x)
これを詳しく学びたいので、途中式を書いて教えていただきたいです。
どうかよろしくお願いします。

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回答数:
1

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ベストアンサーに選ばれた回答

2013/3/209:37:41

f(x)=1/(2x+1)
f'(x)=-1*2/(2x+1)^2
f''(x)=-1*(-2)*2*2/(2x+1)^3
f'''(x)=-1*(-2)*(-3)*2*2*2/(2x+1)^4

ということで、
f[n](x)=n!(-2)^n/(2x+1)^(n+1)
となりそうです。これを帰納法で証明すれば答えです。

n=1のときは上記で計算済。
n=kのとき、f[n](x)=k!(-2)^k/(2x+1)^(k+1)
と仮定すると、
f[n+1](x)=k!(-2)^k*{-(k+1)}*(2x+1)'/(2x+1)^(k+2)
=(k+1)!(-2)^(k+1)/(2x+1)^(k+2)

よって、n=k+1のときも成り立つ。
帰納法により、
f[n](x)=n!(-2)^n/(2x+1)^(n+1)

質問した人からのコメント

2013/3/3 02:08:39

丁寧な回答をどうもありがとうございました。

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