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スチュワートの定理のベクトル的証明について

eau********さん

2006/12/2821:22:16

スチュワートの定理のベクトル的証明について

スチュワートの定理の定理をベクトルでとくことって出来ないのですか。
黄チャートⅡの123をベクトル的に解けなくて困っています。
どうもベクトルが苦手なのでよろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

タロサさん

2006/12/2821:56:39

黄チャートは持ってないので、スチュアートの定理だけ。

Aを原点、Bの位置ベクトルをA→B、Cの位置ベクトルをA→Cとし、
線分BCをベクトルB→Cで表すと、

B→C = A→C - A→B

このとき、A→BとA→Cの内積は、

|B→C|^2 = B→C・B→C
= (A→C - A→B)・(A→C - A→B)
= |A→C|^2 +|A→B|^2 - 2A→B・A→C

より、

2A→B・A→C = |A→C|^2 +|A→B|^2 -|B→C|^2 …(1)

線分BCを m:n に内分する点Dの位置ベクトルA→Dは

A→D = (nA→B + mA→C)/(m+n)
∴(m+n)A→D = nA→B + mA→C

∴(m+n)^2|A→D|^2
= |nA→B + mA→C|^2
=n^2|A→B|^2 + m^2|A→C|^2 + 2mnA→B・A→C
=n^2|A→B|^2 + m^2|A→C|^2 + mn(|A→C|^2 +|A→B|^2 -|B→C|^2) (∵(1)より)
=n(m+n)|A→B|^2 + m(m+n)|A→C|^2 - mn|B→C|^2

ベクトルを線分の長さ(|AB|など)に置き換えて|BC|^2の項を左辺に移項すると、

(m+n)^2|AD|^2 + mn|BC|^2 = n(m+n)|AB|^2 + m(m+n)|AC|^2

両辺を(m+n)で割ると、

(m+n)|AD|^2 + mn/(m+n)|BC|^2 = n|AB|^2 + m|AC|^2

左辺と右辺を交換すると、スチュアートの定理になります。

要は、
「ベクトルで長さの問題を解く」→「内積の2乗を考える」
という観点を持ってください。

質問した人からのコメント

2006/12/29 10:46:22

ご回答ありがとうございました。
とても丁寧で、わかりやすく、助かりました!!!

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