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空間内に4点O,A,B,Cがあり、OA=3 ,OB=OC=4,∠BOC=∠COA=∠AOB=π/3であるとする 三...

asu********さん

2013/3/2012:41:46

空間内に4点O,A,B,Cがあり、OA=3
,OB=OC=4,∠BOC=∠COA=∠AOB=π/3であるとする
三点A,B,Cを通る平面に垂線OHを下ろす

①aベクトル=OAベクトル,bベクトル=OBベクトル,cベクトル=OCベクトルとしOHベクトル=raベクトル+s

bベクトル+tcベクトルと表すときr,s,tを求めよ。

②直線CHと直線ABの交点をDとするとき長さの比CH:HD,AD:DBをそれぞれ求めよ。

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ベストアンサーに選ばれた回答

bee********さん

2013/3/2017:08:01


H が A、B、C を通る平面上にあることより、
r+s+t=1 …①が成り立ち、
OH⊥AB、OH⊥AC より、
(ra↑+sb↑+tc↑)・(b↑-a↑)=(ra↑+sb↑+tc↑)・(c↑-a↑)=0
ra↑・b↑+sb^2+tb↑・c↑=ra↑c↑+sb↑・c↑+tc^2=ra^2+sa↑・b↑+ta↑・c↑
が成り立つ。
a=3、b=c=4 および、
a↑・b↑=a↑・c↑=3・4・(1/2)=6、b↑・c↑=4・4・(1/2)=8
を代入すると、
6r+16s+8t=6r+8s+16t=9r+6s+6t …②
①、②を連立して解くと、r=2/3、s=t=1/6


AD:DB=u:1-u、CH:HD=v:1-v とおくと、
OD↑=(1-u)a↑+ub↑ および、
OH↑=(2/3)a↑+(1/6)b↑+(1/6)c↑=(1-v)c↑+vOD↑
と表すことができる。従って、
(2/3)a↑+(1/6)b↑+(1/6)c↑=(1-v)c↑+v{(1-u)a↑+ub↑}
=(1-u)va↑+uvb↑+(1-v)c↑
よって、
(1-u)v=2/3
uv=1/6
1-v=1/6
連立して解くと、
u=1/5、v=5/6
∴AD:DB=1/5:4/5=1:4、CH:HD=5/6:1/6=5:1

質問した人からのコメント

2013/3/27 19:46:28

笑う ありがとうございました

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