ご近所のママ友さんに仲間はずれにされています。嫌われてしまったようなのですが...

関係修復は無理です。私でも無理です。なぜかと言えばアナタの子供の育て方に問題がありアナタの頭の悪さです。
子は親の鏡。親を見れば子がわかる。子を見れば親がわかる。相手が距離を置きたがっているのに相手の気持を考えないアナタの主観的な考えは例えどこに行っても村八分になると思います。

他所でやっちゃダメと言われている事をしてしまった子供に非があるのと、その責任を親が負うのはもちろんだけど、ピアノの件に関しては、まずAさん、たかだか5～6歳の子供相手に大人気ないと思う。ちゃんと質問者さん謝りに行ってるし。

ピアノが高級だとかそういう問題じゃないし、そんなの小さな子供にはわかりません。音楽に疎ければ、大人だってわかりませんよ。
ましてやAさんの娘さんが弾いてるのを見たんでしょ？興味が沸いて当然かと。
むしろ○○ちゃんも弾いてみる？とか言って娘さんと一緒に遊ばせてあげるくらいの度量がないAさんに若干引きます。

憶測ですが、Aさんは今回のことだけではなく、今まで他にも距離を置きたくなるくらい色々なことがあって我慢してきたのかな？と思います。
他の方もおっしゃっているように、もうAさんが嫌がっているのならどうしようもないと思います。
何もしなくていいというか、何かしたらしつこいと思われるだけのような気がします。
Aさんに固執することなく、今後は少し距離を置くしかないと思います。

音楽家にとって楽器は命より大切なものです。「知識のない人が自分と同じ扱いをしてくれるとは限らない」とわかっていても、そう割り切れるものではありません。可能性があるものは極力排除したいという気持ち、私もわかります。

関係修復は無理だと思います。

こうなってしまった原因はお嬢さんが悪さした件だけでなく、あなた自身と価値観が合わないと判断されたからでは？
文章を読んでいてそう感じました。

もし私があなただったら、謝罪後にAさんの態度がよそよそしくなったと気づいた時点で再度謝罪に行ったと思います。
『気にしないで』と言ってくれたけれど距離を置かれてしまうような事だったのだ、それ程にも不愉快にさせてしまったのだと思い反省します。
それでもAさんの態度が変わらなければ、それはそれで仕方のない事なのでこちらも挨拶のみのお付き合いにします。
Aさんにこの人とは合わないと判断された事実を受け入れるしかありません。
そう思わせてしまったのは自分自身ですから。
申し訳無さ過ぎて自分からは近づけません。
Aさんの気持ちを尊重しようと思えば自ら距離を置きます。

ところがあなたは仲直りしたいからと距離を縮めようとしています。
この状況で仲直りしたいとか許して欲しいと思うのは、相手の気持ちを無視したとても傲慢な考え方ではないでしょうか。
お付き合いしたくないと思っている相手に我慢をさせてまでお付き合いして貰いたいですか？
そういった相手の気持ちを理解出来ない言動が余計に“やっぱり合わない”と判断されているのだと思います。

Aさんはじめ他のママさん方は、あなたとお付き合いする事で不愉快な思いをしたくないから距離を置いているのです。
そうなってしまったからには関係修復は難しいです。
人の気持ちは簡単には変わりません。
その事をあなた自身が受け入れて、この経験を今後に活かすしかないと思います。

厳しい内容になりましたが、はっきり書かないと伝わらないと思い書かせて頂きました。
最後に、お嬢さんに早く新しいお友達ができるといいですね。

なんか、ひどい回答が多いのですけど。

ピアノを習っている子ならまだしも、習ったことのない幼稚園児が楽器を触るのに手を洗わなくちゃならないなんて知らないですよ。私もピアノ習っていましたが、先生の家に高価なグランドピアノがあって、そのときに初めて”ピアノを弾く前は手をきれいにするものだ”と教わりましたから。

で、Aさんのお子さんがピアノを弾いているのを見て、あなたのお子さんはピアノに触ったのですよねえ？
普通に考えて、Aさんのお子さんが、その部屋に「入っていいよ」って言ったのではないですか？そして目の前には艶やかなグランドピアノ。ぺたぺた。ふと気づけばあなたのお子さんの手にはお菓子。普通の子供がすることじゃないですか。そんな糞高いピアノがあって、子供に触らせたくないのなら、カギかけとけばいいんですよ。幼稚園児が一回のしつけで完璧に言うこと聞くわけないんですから。大きい家に行って、たくさんドアがあれば開けたくなるのが子供心です。新しい、ピカピカしたものを見れば触りたくなるのが子供心です。
あなたのお子さんが相当やんちゃでない限りは、Aさんに責任がありますよ。小さな子供を家に招いたら、その家の人に監督責任がありますからね。触らせたくないものがあるなら、最初から呼ばなきゃいいんですよ。お菓子触った手でピアノ触ったって、壊れるわけじゃありません。人間の手だって汗かいたり、脂が出たりしますから、練習した後は拭くんです。大したことじゃないと思いますけどね。

他にAさんが怒る理由があるんじゃないですか？
お子さんを見ていて、思い当る節はありませんか？

あるいは、Aさんの娘さんが個人的に、あなたのお子さんのことを”あまり好きじゃない”と言えば、それだけで一部の親は距離をおこうとしたりしますからね。

普通、子供が仲よければ、たとえ親の側がとめたとしても、あなたのお子さんの方に集まってくると思うのですが、それはないのですか？とすれば、申し訳ないけれど、あなたのお子さんの性格であるとか、そんな類のことに問題があるような気がしますよ。
幼稚園児でも、あの子きらーい、って仲間はずれにしたりしますからね。幼稚園の先生に、お子さんの普段の様子を聞いてみてはどうです？