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三角形の面積について(ヘロン)?

ten********さん

2013/6/1410:34:45

三角形の面積について(ヘロン)?

問題としてだされたのですが
ある三角形の一辺を短くすると面積が増える場合があると言われました。
その時、ヘロンって言葉を聞いたのですが
ふつうに考えると辺を短くすると面積も減るんじゃないですか?
辺を短くすると面積が増えることってあるのでしょうか?

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ID非公開さん

編集あり2013/6/1411:03:08

まずヘロンの公式はおいておいて、
1辺だけ異様に長い2等辺三角形を考えます。
すると、その1辺を他の2辺の和まで長くしていくと、三角形が限りなく平べったくなって面積が0に近づくことが分かります。
長くすると減るのだから、短くすると増えるのです。
ヘロンの公式に戻ってみると、
√(s(s-a)(s-b)(s-c)) ですが、s = (a+b+c)/2 を代入してルートの中だけを見ると、
-a^4+2(b^2+c^2)a^2+2b^2c^2-b^4-c^4 と、マイナスの4次関数になっている事が分かります。
マイナスの4次関数は単調増加しませんので、面積が減ることがあるのが明らかです。

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red********さん

2013/6/1410:44:44

残りの2辺の長さがそのままなら、残る1辺の長さが短くなれば当然面積は減ります。

3辺の長さの合計が一定だったとき(つまり1辺の長さが短くなれば、残る2辺のうち少なくとも1辺が長くなる)、1辺を短くすると面積が増える場合は確かにあります。

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