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数学Iの問題です。 2つの実数a.bがあり、a=2/√5-1、b=|a-√5|である。 ⑴aの分母を...

gor********さん

2013/6/2119:27:24

数学Iの問題です。

2つの実数a.bがあり、a=2/√5-1、b=|a-√5|である。

⑴aの分母を有理化せよ。また.bの値を求めよ。

⑵aの二乗+bの二乗、aの三乗+bの三乗の値をそれぞれ求め

よ。

⑶aの五乗+√5aの三乗-√5bの三乗+bの五乗の値を求めよ。

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wel********さん

2013/6/2120:33:37

gorudenbonba4さん

(1)
a=2/(√5-1)
=2(√5+1)/(√5-1)(√5+1)
=2(√5+1)/4
=(√5+1)/2
b=|a-√5|
=|(√5+1)/2-√5|
=|(-√5+1)/2|
2<√5<3 より (-√5+1)/2<0 だから
b=(√5-1)/2
(2)
(1)より
a+b=(√5+1)/2+(√5-1)/2=2√5/2=√5
ab=(√5+1)/2・(√5-1)/2=4/4=1
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
=5-2
=3
a,b はx^2-√5x+1=0の2解であるから
a^2-√5a+1=0, b^2-√5b+1=0
それぞれの両辺にa,bをかけて移項すると
a^3=√5a^2-a・・・①
b^3=√5b^2-b・・・②
これらをたすと
a^3+b^3=√5(a^2+b^2)-(a+b)
=3√5-√5
=2√5
(3)
①の両辺にa、②の両辺にbをかけると
a^4=√5a^3-a^2・・・③
b^4=√5b^3-b^2・・・④
2式をたすと
a^4+b^4=√5(a^3+b^3)-(a^2+b^2)
=√5・2√5-3
=10-3
=7
③の両辺にa、④の両辺にbをかけると
a^5=√5a^4-a^3
b^5=√5b^4-b^3
2式をたすと
a^5+b^5=√5(a^4+b^4)-(a^3+b^3)
=√5・7-2√5
=7√5-2√5
=5√5
また、a-b=(√5+1)/2-(√5-1)/2=2/2=1

a^5+√5a^3-√5b^3+b^5
=a^5+b^5+√5(a^3-b^3)
=a^5+b^5+√5(a-b)(a^2+ab+b^2)
=a^5+b^5+√5(a-b)(a^2+b^2+ab)
=5√5+√5・1・(3+1)
=5√5+4√5
=9√5

計算ミスがあるかもしれません。
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