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a,b,c,p,qを整数の定数とし、次の3つの多項式 P=(x+11)^2-9c^2(y+b)^2 Q=(x+11...

uid********さん

2013/6/2221:36:26

a,b,c,p,qを整数の定数とし、次の3つの多項式

P=(x+11)^2-9c^2(y+b)^2
Q=(x+11)^2+13(x+11)y+36y^2
R=x^2+(p+2q)xy+2pqy^2+4x+(11p-14q)y-77

これらを因数分解する。

また、PとQ、QとR、RとPはそれぞれ1次式を共通因数としてもっているものとするとする。
このときのa,b,c,p,qの値を求めよ。

です。特に後半が意味分からんです。

補足本当に申し訳ありません・・・
質問しといて内容を間違えるなんてアホすぎました・・・

P=(x+a)^2-9c^2(y+b)^2

です。よろしくお願いします。

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gam********さん

編集あり2013/6/2318:36:22

まずP、Q、Rの多項式をそれぞれ因数分解してみましょう。
Pはa^2-b^2=(a+b)(a-b)の形を
Qはa^2+13b+36b^2=(a+9b)(a+4b)の形を
Rはまずyについての二次式と考えるようにしましょう。チョイ難。

P=(x+a)^2-9c^2(y+b)^2
P=(x+a+3c(y+b)}{x+a-3c(y+b)} ・・・①

Q=(x+11)^2+13(x+11)y+36y^2
Q=(x+11+9y)(x+11+4y) ・・・②

R=x^2+(p+2q)xy+2pqy^2+4x+(11p-14q)y-77
R=2pqy^2+{(p+2q)x+11p-14q}y+x^2+4x-77
R=2pqy^2+{p(x+11)+q(2x-14)}y+(x+11)(x-7)
R=(2qy+x+11)(py+x-7) ・・・③

①②③すべてが、xとyと定数の項からなる二つのの一次式の積だということがわかるでしょうか。
「後半の意味」というのは、この一次式がPとQ,QとR,RとPに共通するものがある。ということです。
xとyの一次式=因数。と解釈できるということです。
共通因数=共通の一次式が一つあれば、もう一つの一次式はそれぞれ異なってもかまいません。
P=共通一次式×異なる一次式
Q=共通一次式×異なる一次式
これがPとQに1次式を共通因数としてもつの意味になります。

QろRから、③は前半のxの項と定数項が②と同じなので、
2qy=9yもしくは4y
qは整数なので、
q=2

PとQから、①のyの係数は±3cなので、cが整数になるには、
9y=±3cy
c=±3
P=(x+a+9y+9b)(x+a-9y-9b)とかけるので、
a+9b=11

RとPでは、Rの前半部は共通一次式にはならないのが明らかなので、
py+x-7が共通一次式となる
p=-9
a-9b=-7
a=2
b=1

よって、a=2,b=1,c=±3、p=-9,q=2
お疲れ様でした。

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