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ジョルダン標準形に関する質問です。 A={{-1, -3, 4}, {5, 8, -5}, {6,, 7, -3}} ...

yhq********さん

2013/7/616:05:26

ジョルダン標準形に関する質問です。
A={{-1, -3, 4}, {5, 8, -5}, {6,, 7, -3}}
のn乗の求め方を教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

sch********さん

編集あり2013/7/1101:35:22

固有多項式
(λ+2)(λ-3)^2=0

固有値
λ=-2
λ=3(重解)

λ=3に対する固有ベクトル

B=A-3Eとすると、
B={{-4, -3, 4}, {5, 5, -5}, {6, 7, -6}}
=
-4...-3...4
5....5....-5
6....7...-6

1...2....-1
1...1...-1
1...2...-1

1...2...-1
1...1...-1
0...0...0
で、

rank(B)=2
dim(KerB)=3-2=1
よって、
固有値3に対するジョルダン細胞数は1個。

固有値-2は単根なので、-2に対する
ジョルダン細胞は、1次である。
したがって、固有値3のジョルダン細胞の次数は2次になる。
Aを対角化する行列はジョルダン標準形
A~J(-2,1)⊕J(3,2)
である。
すなわち、
J=
-2..0...0
0...3...1
0...0...3

λ=-2に対する固有ベクトル
(A+2E)p=0
より、
(A+2E)p=
={{1, -3, 4}, {5, 10, -5}, {6, 7, -1}}p
={{0, 0, 0}, {0, 1, -1}, {1, 1, 0}}p
=0
よって、固有ベクトルは、
p={-1,1,1}

λ=3に対する固有ベクトル
(A-3E)p=0
より、
={{-4, -3, 4}, {5, 5, -5}, {6, 7, -6}}p
={{1,2,-1},{1,1,-1},{0,0,0}}p
より、
p={1,0,1}

次に
(A-3E)p'=pになるp'を求める。


p={1,0,1}
p'={x,y,z}
として、
-4x-3y+4z=1
x+y-z=0
6x+7y-6z=1
より、
p'={-1,1,0}

以上より、
J=P^(-1)AP
を成り立たせるPは、
P=
-1...1...-1
1....0.....1
1....1....0
になる。
P^(-1)=
-1...-1...1
1...1....0
1...2...-1

J=P^(-1)AP
より、
PJP^(-1)=A
{PJ^P^(-1)}^n=A^n
PJ^nP^(-1)=A^n
なので、
J^nを求める。

J=
-2..0...0
0...3...1
0...0...3

のn乗は、
3...1
0...3
のn乗を求めればいい。
計算すると、
3^n....n*3^(n-1)
0.......3^n
になる。
よって、
J^n=
(-2)^n...0.........0
0..........3^n....n*3^(n-1)
0............,0.......3^n
このJ^nに左からP、右からP^(-1)
をかけて、A^nが求まる。

A^n=
(-2)^n+n*3^(n-1)...(-2)^n-3^n-2n*3^(n-1)...(-2)^n-n*3^(n-1)+3^n

-(-2)^n+3^n.....-(-2)^n+2*3^n....(-2)^n-3^n

-(-2)^n+3^n+n*3^(n-1)...(-2)^n+3^n+2n*3^(n-1)...-(-2)^n-n*3^(n-1)

になりました。
計算ミスあるかも。

質問した人からのコメント

2013/7/12 16:09:49

降参 丁寧な回答ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

wha********さん

2013/7/616:41:48

A=S{{-2,0,0},{0.3.1},{0,0,3}}S^-1
A^n=S{{(-2)^n,0,0},{0.3^n.3^n+(n-1)3^(n-1)},{0,0,3^n}}S^-1
S={{-1,0,-1},{1,0,1},{1,1,0}}
計算がめんどうだ!

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