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干渉の問題です。(a)から(f)の{}は正しい語句、[]は式を入れます。よろしくお願い...

yhq********さん

2013/7/1623:45:36

干渉の問題です。(a)から(f)の{}は正しい語句、[]は式を入れます。よろしくお願いします。m(_ _)m

[1]理想金属の表面では電場の(a){接線成分、法線成分}の値が常に0となることから、.境界面での反射波の電場の向きは入射波のそれと(b){同方向、反対方向}である。このような入射波と反射波が干渉することによって周期L=(d)[]の定在波が発生するが、上記の境界条件により、この定在波は電場の腹の位置と磁場の(e){腹、節}の位置が一致している。続いて、このような定在波の存在を確認するために図2のような実験をおこなった。厚さが光の波長よりも十分に薄い感光フィルムを、右端に細い銅線を一本挟むことによって斜めに傾けて置く 。銘直上方より光を照射した後、現像したフィルムを顕微鏡で観察したところ、等間隔で平行な搞模様が見られた。またフィルムが金属表面に接している部分(左端)は感光しておらず、これは何度実験を操り返しても再現された。金属表面では電場の定在波は(f){腹、節},磁場の定在波は(g){腹、節)になっていることから、感光作用は(h){電場、磁場)によって起こることをこの実験結果は示している。
•光の照射領域はフィルムの面積よりも広く、またフィルムを置くことによって定在波が乱されることはないものとする。

[2]設問[1]の実験を波長A=700nmの光でおこない、現像したフイルムを頭微鏡で観察したところ、200本の稿模様が確認された。右端に挟んだ銅線の太さはおよそどの程度か。

[3]設問[1]の実験を図3のように斜め上方(鈴直方向となす角度を0とする)から光を照时することによって同様におこなった(電場の向きは入射面に平行である)。

[3.1]入射波の電場べクトルを複素表示で
E_in=(E_inx, E_iny)=(E_0cosθ, E_0sinθ)e^i(kxsinθ-kycosθ-ωt)
と書くと、反射波の電場べクトルE_refはどのように書けるか。

[3.2]定在波となる電場E_in+E_refの時間平均強度I(θ,y)を計算せよ。またその結果から、
定在波の周期Lと稿模様の明瞭度Vを0(0<θ<π/4)の関数として求めよ。
ただし明瞭度はyの関数としてのIの極大値I_maxと極小値I_minを用いて、
V = (I_max — I_min)/(I_max + I_min)で評価できるとする。

[4]単色性がやや劣り、時間的なコヒーレンス長(可干渉距離)が約100μmの光源(波長λ=700nm)
で設問[2]の実験をおこなったとき、模様の明瞭度Vはフィルムの左端から右端へ向かってどのように変化するか?

[5]ここでおこなう実験は、照明光としてレーザを使うと非常に上手くいく。なぜか。

定在波,明瞭度,電場,フィルム,クトル,kxsin,ikycos

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cle********さん

2013/7/1820:59:43

[1]
(a) 接線成分
(b) 反対方向
(c) ?
(d) λ
(e) 節
(f) 節
(g) 腹
(h) 電場

[2]
200本目の縞が観察された銅線の直近であるとすれば、導線の太さdは、往復の光路差が波長の整数倍であることから、
d = 200λ/2 = 100λ = 100×700・10^(-9) = 7×10^(-5) = 70μm

[3.1]
E_ref =(E_refx, E_refy)=(-E_0cosθ, E_0sinθ)e^i(kxsinθ+kycosθ-ωt)

[3.2]
E_in=(E_inx, E_iny)=(E_0cosθ, E_0sinθ)e^i(kxsinθ-kycosθ-ωt)

E_in + E_ref
= E_0cosθ(e^-ikycosθ - e^ikycosθ)e^i(kxsinθ-ωt)[ex]
+ E_0sinθ(e^-ikycosθ + e^ikycosθ) e^i(kxsinθ-ωt)[ey]
実数部をとる。
Re[E_in + E_ref]
= 2E_0{cosθsin(kycosθ)sin(kxsinθ-ωt)[ex]
+ sinθcos(kycosθ)cos(kxsinθ-ωt)[ey]}

I = 4E_0^2∫[0→T]{cos^2θsin^2 (kycosθ)sin^2 (kxsinθ-ωt)
+ sin^2θcos^2 (kycosθ)cos^2 (kxsinθ-ωt)} dt
= 2E_0^2{ cos^2θsin^2 (kycosθ) + sin^2θcos^2 (kycosθ) }
= E_0^2{ cos^2θ(1 – cos 2kycosθ) + sin^2θ(1 + cos 2kycosθ}
= E_0^2{ 1 – (cos^2θ – sin^2θ)cos 2kycosθ}
= E_0^2(1 – cos 2θcos 2kycosθ)

0 < θ < π/4であるから、cos 2θ > 0
I_max = E_0^2( 1 + cos 2θ), at 2kycosθ= (2m +1)λ
I_min = E_0^2( 1 – cos 2θ), at 2kycosθ = 2mλ
V = 2cos 2θ / 2 = cos2θ
V = cos 2θ

[4]
単色性に劣るので、波数kは一定ではない。 スペクトル分布と明瞭度Vの関係を調べることになるが、詳述することは難しいので概要のみ記す。

可干渉距離Δl = cΔt ~c/Δν = λ^2/Δλ = 2π/Δk
可干渉距離 = 100μmであるから、Δk = 2π/10^(-7)

[2]の実験ではθ= 0であるから、I = 1 – cos 2kyである。
入射波のスペクトルjを、j(k) = joexp^(-α^2 k^2)とすれば、
明瞭度Vは、
V ~e^-(2y/2α)^2
となる。
ここで、α=2√ln2/Δkである。
したがって、縞模様は右にあるほど不明瞭となる。
2y = 2π/Δk = Δl (=可干渉距離)で明瞭度は~0となる。
波長λ= 700 [nm]であるから、
Δl / λ = 100・10^-6 / 700・10^-9 ≒ 142
縞模142本までは見えるかも。

この詳細に興味あれば、
M. BORN and E. WOLF, Principles of optics, Cambridge University Press
のⅦ章に記載があるので是非参照してください。

[5]
レーザー光は単色性と平行性にすぐれ時間的、空間的コヒーレンスが高いので、干渉は広い範囲でシャープに起こる。

質問した人からのコメント

2013/7/19 21:50:12

降参 参考書まで挙げていただき、ありがとうございました。本当に勉強になります。

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