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積分の問題です。 ∫√(x^2-1)/x dx √(x^2-1)=t-xと置換してみたところ、どうも解答...

bos********さん

2013/7/2722:42:25

積分の問題です。
∫√(x^2-1)/x dx

√(x^2-1)=t-xと置換してみたところ、どうも解答と答えが合いません。
導出過程も含め、解答よろしくお願いします。

解答,xdx,導出過程,arctan,積分,t-x,sinh

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ベストアンサーに選ばれた回答

編集あり2013/7/2805:45:32

{√(x^2-1)}/x
=(x^2-1)/{x√(x^2-1)}
より、

与式=∫{x/√(x^2-1)}dx
-∫dx/{x√(x^2-1)}=①

∫{x/√(x^2-1)}dx
=(1/2)∫(2x)(x^2-1)^(-1/2)dx
=(1/2)∫(x^2-1)'(x^2-1)(-1/2)dx
=(1/2)・2(x^2-1)^(1/2)+C'
=√(x^2-1)+C' ……②

与式より、 |x|≧1

ⅰ)x≧1 のとき

x=cosh(t)
t≧0
とおくと

dx=sinh(t)dt

√(x^2-1)=sinh(t) ……③
(∵ sinh(t)≧0)

よって
-∫dx/{x√(x^2-1)}
=-∫dt/cosh(t)
=-∫{cosh(t)/cosh(^2)(t)}dt
=-∫〔cosh(t)/{sinh(^2)(t)+1}〕dt
=-∫〔{sinh(t)}'/{sinh(^2)(t)+1}〕dt
=-arctan{sinh(t)}+C''=④

③を④に代入して、変数を x に戻すと
④=-arctan√(x^2-1)+C'' ……⑤

ⅱ)x≦-1 のとき

x=-cosh(t)
t≧0
とおくと、同様に⑤の結果を得る。

したがって
①に②,⑤を代入して
①={√(x^2-1)}-arctan√(x^2-1)+C ……(答)

※ 公式

◦ ∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(t)dt
ただし、 g(x)=t

◦ ∫dx/(x^2+a^2)
=(1/a)arctan(x/a)+C
(a≠0)

を使っています。

質問した人からのコメント

2013/7/29 22:25:08

なるほど、この変形の仕方は思い付きませんでした。
ありがとうございました。

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