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熱力学のサイクルの問題について。

kur********さん

2013/7/3113:31:16

熱力学のサイクルの問題について。

サイクルの問題において効率を求めるとき、1-Qout/Qin の他にW/Qinでも求められると思いますが、
このWは有効仕事ということですが、それは各サイクル毎にどこの仕事のことかというのは覚えておくべきことなのでしょうか。
というのも現在サイクルの問題を解く際に、たとえばブレイトンサイクルを例にすると、
等圧変化2つ、断熱変化2つから成るサイクルですが、どの変化過程にも仕事が存在し(外部仕事に限れば断熱過程の2つ)、上に示した熱効率の式においてどのWを代入すれば良いのか、すべてのWを考慮して足し合わせるようなことをしないといけないのか、混乱してしまい、わかりません。
おそらくブレイトンサイクルにおいてはタービンが有効仕事かと思うのですが、他のサイクルではどのように有効仕事を考えればよろしいのでしょうか。
わかりづらい質問で申し訳ありませんが回答頂ければ幸いです。

補足ちなみにサイクルで扱う仕事は基本的に外部仕事-∫vdpであるという認識でよろしいでしょうか?

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pla********さん

2013/7/3117:18:36

仕事は正味です。仕事を外部にして、外部から仕事を貰ったら、した分から貰った分を差し引きます。
効率を熱のバランスだけで計算してみます。
断熱圧縮→等圧加熱→断熱膨張→等圧冷却を考えた時、熱を貰うのは等圧加熱でQ1=Cp(T3-T2)、熱を放出するのは等圧冷却でQ2=Cp(T1-T4)です。この時、効率は
η=(Q1+Q2)/Q1・・・①
となります。Q1+Q2は貰った熱から捨てた熱を引いたもので、これが全部仕事になったと考えます。エネルギーバランスで考えてますから、これは為した仕事から貰った仕事を引いた正味の仕事です。①は
η=Cp(T3-T2+T1-T4)/Cp(T3-T2)
=(T3-T2+T1-T4)/(T3-T2)・・・②
となります。ここで
T2=T1(V1/V2)^(γ-1)・・・③
T4=T3(V3/V4)^(γ-1)・・・④
です。また圧は初期をPaとし、断熱圧縮でPb、次の等圧加熱で変化がなく、断熱膨張でPaに戻り、最後の等圧冷却でPaのままです。
PaV1^γ=PbV2^γ→(V1/V2)^(γ-1)=(Pb/Pa)^((γ-1)/γ)・・・⑤
PbV3^γ=PaV4^γ→(V3/V4)^(γ-1)=(Pa/Pb)^((γ-1)/γ)・・・⑥
ですから⑤、⑥を③、④にいれたものを②に入れます。但しここでPa/Pb=r、(γ-1)/γ=ρと書きます。
η=(T3-T1(1/r)^ρ+T1-T3r^ρ)/(T3-T1(1/r)^ρ)
=1-r^ρ
=1-(Pa/Pb)^((γ-1)/γ)・・・⑦
となります。
これを仕事で数えるやり方をするなら
η=-{Cv(T2-T1)-Pb(V3-V2)+Cv(T4-T3)-Pa(V1-V4)}/Cp(T3-T2)・・・⑧
となります。Cv(T2-T1)は断熱圧縮で気体が貰った仕事、-Pb(V3-V2)は等圧加熱で気体が貰った仕事(負で外部に仕事をしてます。)、Cv(T(4-T3)は断熱膨張で気体が貰った仕事(負で外部に仕事をしてます。)、-Pa(V1-V4)は等圧冷却で気体が貰った仕事です。
なお、断熱過程の仕事は、
dU=dQ-PdV=-PdV
ですが、一方
dU=(∂U/∂T)_vdT+(∂U/∂V)_tdV
で理想気体では右辺第二項がゼロになるので
dU=(∂U/∂T)_vdT=CvdT
になります。そこでCvdTと-Pdvを等値して
-∫PdV=Cv∫dT
に帰着できます。⑧の分子全体にマイナスをつけてますので、これは気体が正味外部に為した仕事量です。分母は貰った熱量です。
PbV3=RT3, PbV2=RT2, PaV1=RT1, PbV4=RT4を知れば⑧の分子は
-Cv(T2-T1)+R(T3-T2)-Cv(T4-T3)+R(T1-T4)
=T1(Cv+R)-T2(Cv+R)+T3(Cv+R)-T4(Cv+R)
=Cp(T1-T2+T3-T4)・・・⑨
⑨を⑧に入れると②とまったく同じ式になっています。

扱っている仕事は∫PdVで計算しています。等圧ではPΔVですし、繰り返しになりますが断熱では-PdV=CvdTの関係を利用して評価しています。

質問した人からのコメント

2013/8/7 11:56:43

笑う 丁寧なご解答ありがとうございました!

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