ここから本文です

ある自然数とその2倍の数をそれぞれ8進法で表したとき、ともに4桁で、数字の並び方...

y_h********さん

2013/8/1322:07:44

ある自然数とその2倍の数をそれぞれ8進法で表したとき、ともに4桁で、数字の並び方は逆になっているという。
このような自然数をすべて求め、それらを8進法で表せ。

この解き方を教えてくだ

さい!

閲覧数:
3,528
回答数:
2

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

k5q********さん

編集あり2013/8/1323:09:23

ある数の8進数表記をabcdとすると、並びが逆になったものはdcbaとなる。
(aとdは1以上7以下の自然数、bとcは0以上7以下の自然数)

8進数abcdを10進数で表記すると
a * 8^3 + b * 8^2 + c * 8^1 + d
= 512a + 64b + 8c + d・・・式1
式1の2倍は
(512a + 64b + 8c + d) * 2
= 1024a + 128b + 16c + 2d・・・式2
8進数dcbaを10進数で表記すると
d * 8^3 + c * 8^2 + b * 8^1 + a
= 512d + 64c + 8b + a・・・式3

式2と式3が等しいので、
1024a + 128b + 16c + 2d = 512d + 64c + 8b + a
1023a + 120b - 48c - 510d = 0
1023a + 120b = 48c + 510d
1023a + 120b = 2(24c + 255d)

2(24c + 255d)と120bは偶数なので、1023aは偶数。
1023aが偶数となるのは、a = 2, 4, 6,の時。
abcdを2倍した結果も4桁なので、a = 2。

1023a + 120b = 2(24c + 255d)
1023 * 2 + 120b = 2(24c + 255d)
2(1023 + 60b) = 2(24c + 255d)
1023 + 60b = 24c + 255d

60bは偶数なので、1023 + 60bは奇数。
24cは偶数なので、奇数 = 偶数 + 255dで、255dは奇数。
255dが奇数となるのは、d = 1, 3, 5, 7の時。
a = 2であり、abcdを2倍した時の最上位桁がdなので、d = 5に決まる。

1023 + 60b = 24c + 255d
1023 + 60b = 24c + 255 * 5
1023 + 60b = 24c + 1275
60b = 24c + 252
15b = 6c + 63

6cは偶数なので、6c + 63は奇数となり、15bも奇数。
15bが奇数となるのは、b = 1, 3, 5, 7の時。
15b >= 63なので、b = 5, 7のどちらか。

【b = 5の時】
15 * 5 = 6c + 63
75 = 6c + 63
6c = 12
c = 2
となり、abcd = 2525に決まる。

【b = 7の時】
15 * 7 = 6c + 63
105 = 6c + 63
6c = 42
c = 7
となり、abcd = 2775に決まる。

よって、8進数abcdの候補は、2525と2775の2つ。

この回答は投票によってベストアンサーに選ばれました!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

oja********さん

2013/8/1323:02:36

8進法で表したときabcdであるとする。
a,b,c,dはそれぞれ0以上7以下である。
すなわち
a×8^3+b×8^2+c×8+d
これを2倍すると
2a×8^3+2b×8^2+2c×8+2d=d×8^3+c×8^2+b×8+a

2倍して桁数の繰り上がりが無いので、aは3,2,1のいずれかである。
先頭の数だから0もない。
両辺をくらべてaは偶数であるとわかるから
a=2
2dが2または12(8進法)なので
d=1またはd=5

先頭を見て2a=dまたは繰り上がりを考えると2a+1=d
よって
d=5

そうすると
2bは繰り上がらないといけないので
b=4,5,6,7のいずれか

いままで分かったことを確認してみると

2(2×8^3+b×8^2+c×8+5)=5×8^3+c×8^2+b×8+2

2bは繰り上がってcと等しくなるので
2b-8=cまたは2b-8+1=c・・・・・(1)

また右から2つ目を考えると(2×5=12なので必ず繰り上がってくる)
2c+1=bまたは2c+1-8=b・・・・・・・(2)
(1)(2)を連立してb,cを決める。
b=5,c=2またはb=7,c=7

a=2,b=5,c=2,d=5またはa=2,b=7,c=7,d=5
(答)2525または2775

繰り上がりがある場合が考えにくいですね。

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる