ここから本文です

整数問題です

xxx********さん

2013/8/2001:03:30

整数問題です

p,qは互いに素な自然数とする。
xについての二次方程式
x^2-p^3x+q^3=0
が異なる2つの自然数解を持つことはあるか。

とある問題を考えたときに出てきた問題です。自力では解けませんでした。
もしかしたら高校数学範囲内で解けない問題かもしれません。考えていただけると助かります。。。

補足「異なる2個の自然数解を持つこと」であって,「異なる2解を持つこと」ではありません。

閲覧数:
209
回答数:
2
お礼:
100枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

b_t********さん

編集あり2013/8/2012:23:19

>前の方
はぁ?



x^2-p^3x+q^3=0

(x-a)(x-b)=0

たる自然数a,bが存在することは、

a+b = p^3
ab = q^3

を満たすa,b,p,q の組が存在することと同値。


a,bに共通因数が存在するとすると、

a=km , b=kn

q^3 = k^2mn
p^3 = k(m+n)

よりp,qが互いに素に抵触。

つまりa,bは互いに素。

つまるところ、ab = q^3を満たすため、a,bは共に立方数。

a=x^3 , b=y^3


a+b = p^3 を満たすから

x^3 + y^3 = p^3


私はこのような自然数の組がないことの驚くべき証明を思いついたが、それを書くにはここの余白は狭すぎる。

あとはピエールさんに任せます。



>tmre318さん

>また①とα,βは互いに素な自然数かつα<βよりα=1,β=q^3

は必ずしも真でないでしょう。

qが素数であることが保証されていれば確かにこの理屈は真ですが、

別にpと互いに素な自然数ってだけで素数って保証はありません。

q=15 なら、α=3^3、β=5^3 としてもαとβは互いに素になりますから反例になりますよ。

この回答は投票によってベストアンサーに選ばれました!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

tmr********さん

編集あり2013/8/2113:09:27

b_tangentさんの指摘を受けて、証明を直そうと試みましたが無理でした。この証明はqが素数のときの証明として参考にして下さい。

x^2-p^3x+q^3=0を満足する自然数解をもつと仮定しその解をα,βとする。
すると解と係数の関係から、
αβ=q^3...①
α+β=p^3...②
α,βが共通の約数をもつと仮定すると
α=ka,β=kbと表せる。すると①,②から
q^3=abk^2
p^3=(a+b)k
となるがp,qが互いに素であることに反する、よって矛盾。また重解をもつと仮定しても同様にして矛盾する。したがってα,βは互いに素かつα≠β。なのでα<βとしても一般性を失わない。また①とα,βは互いに素な自然数かつα<βより
α=1,β=q^3
これを②に代入し、
1+q^3=p^3
p^3-q^3=1
(p-q)(q^2+pq+p^2)=1
したがって、p,qは自然数なので
(1,1)=(p-q,q^2+pq+p^2)...A
(-1,-1)=(p-q,q^2+pq+p^2)...B
のいずれかが成り立つ。
Aの場合
p-q=1よりp=1+q
これをq^2+pq+q^2=1に代入し
(1+q)^2+(1+q)q+q^2=1
3q(q+1)=0
q=0,-1
となるが、これはqが自然数であることに反する、よって矛盾。
Bの場合
p^2+pq+q^2=-1
となるがp,qは自然数なので
p^2+pq+q^2>0
が成立する、よって矛盾。
したがってx^2-p^3x+q^3=0を満足する自然数解をもつと仮定すると矛盾が得られたので、与式を満足する解は自然数の範囲には存在しない、となります。

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる