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n(n+1)(2n+1)は6の倍数である。というのを証明できません。教えてください!

mii********さん

2013/9/1120:21:44

n(n+1)(2n+1)は6の倍数である。というのを証明できません。教えてください!

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az1********さん

2013/9/1120:32:03

n,n+1の一方は偶数だからこの数は偶数

n=3kのときはnが3の倍数
n=3k-1のときはn+1が3の倍数
n=3k+1のときは2n+1=6k+2+1=3(2k+1)が3の倍数
だからこの数は3の倍数

∴6の倍数である。

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ベストアンサー以外の回答

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wak********さん

2013/9/1121:18:28

n(n+1)(2n+1)
=(1/4)×2n(2n+1)(2n+2)
3つの連続する整数には3の倍数がある
連続する2つの偶数の一つは4の倍数である
よって6の倍数となる。ちょっとふうがわりに‥

tsa********さん

編集あり2013/9/1518:58:47

皆さん,真面目にキチンと解かれてますので,裏技で…

また,既に何人かの方がやっておいでの,
=n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)
の変形で一発解決ですが,数学的帰納法の方もこの変形を使っておいでですので,
気づかなかったときの,数学的帰納法の計算例を挙げてみます。

まずは裏技

n(n+1)(2n+1) って,どこかで見たことありますよね。
1からnまでの自然数の2乗の和は
1^2+2^2+3^2+ … +n^2 = (1/6)×n(n+1)(2n+1)
ですね。この左辺は,1からnまでの自然数の2乗の和ですから,当然整数です。
ですから
n(n+1)(2n+1) = 6×( 1^2+2^2+3^2+ … +n^2 )
は6の倍数です。

高校の「数学B」の「数列」をまだ習ってない人,ゴメン。

次に
任意の自然数nに対して
f(n)=n(n+1)(2n+1)
が,6の倍数であることを,数学的帰納法で証明します。


f(1)=1×(1+1)(2×1+1)=6
は6の倍数。


任意の自然数kに対して
f(k)=k(k+1)(2k+1)
が,6の倍数であると仮定すると

f(k+1)=(k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1}
=(k+1)(k+2){(2k+1)+2}
=(k+1){k(2k+1)+2(2k+1)+2k+4}
=k(k+1)(2k+1)+(k+1)(6k+6)
=f(k)+6(k+1)^2
も6の倍数である。

①,②から,証明が得られた。

sun********さん

編集あり2013/9/1121:54:07

nを自然数とするのかな。

①n=1のとき、
n(n+1)(2n+1)
=1×2×3=6
で、6の倍数である。

②n≧2のとき、
n(n+1)(2n+1)
=n(n+1){(n+2)+(n-1)}
=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n-1)
=n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)

式の前半も後半も、連続する3つの自然数の積である。
連続する3つの自然数は、2の倍数、3の倍数を含むから、その積は6の倍数である。
だから、その和も6の倍数。

ああ、エレガントだ!
平方和の方は、もっとエレガントだ!
waka様も、素晴らしくエレガントだ!

hir********さん

2013/9/1120:35:02

3連続の整数の積=6の倍数だから、(n-1)(n)(n+1)、or、(n)(n+1)(n+2)が使えると良い。
特に、n^3の係数が2の時は、この両方を使うと旨くいく場合が多い。

2n^3+3n^2+n=(n^3-n)+(n^3+3n^2+2n)=(n-1)(n)(n+1)+(n)(n+1)(n+2)

よって、6の倍数。

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