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至急!!!!!ベクトルの問題でわからない問題があるんで解答をお願いします。

namachan_kirinさん

2013/10/1722:37:24

至急!!!!!ベクトルの問題でわからない問題があるんで解答をお願いします。

問1、|↑a|=1,|↑b|=√3,|↑a-↑b|=√7のとき、内積↑a・↑bを求めよ。また、↑aと↑bのなす角θを求めよ。

問2、2点A(a1,a2),B(b1,b2)と原点Oを頂点とする△OABにおいて、↑OA=↑a,↑OB=↑bとする。このとき、△OABの面積Sは次の式で表されることを示せ。
S=1/2√|↑a|^2|↑b|^2-(↑a・↑b)^2=1/2|a1b1-a2b1|

問3、次のア~エに適する数字(0~9)を答えよ。
tを実数とする。↑a=(3,1),↑b=(1,2)のとき、|↑a+t↑b|の最小値は√アで、そのときのtの値はーイである。また、このときの↑a+t↑bと↑bのなす角をθとすると、θ=ウエ°である。

*問3は計算の過程もお願いします。

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obelisk704さん

編集あり2013/10/1813:01:13

(問1)|↑a-↑b|=√7 の両辺を2乗すると、|↑a|^2-2↑a・↑b+|↑b|^2=7 となり、
|↑a|=1,|↑b|=√3 を代入して解けば、↑a・↑b=-3/2。


(問2)OA と OB のなす角をθとします。
S=(1/2)|↑a||↑b| sinθ=(1/2)|↑a||↑b|√[1-(cosθ)^2]
であり、さらに cosθ=(↑a・↑b)/(|↑a||↑b|) を代入して
S=(1/2)|↑a||↑b| √[1-{ (↑a・↑b)^2 / (|↑a||↑b|) ^2 } ]
を計算すれば、証明すべき式の中間の式がでます。また、最右辺ですが、中間の式のルートの中を計算すると、
(|↑a||↑b|) ^2-(↑a・↑b)^2 =(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1b1+a2b2)^2
=(a1b2)^2-2a1b1a2b2+(a2b1)^2=(a1b2-a2b1)^2
となるので、
S=(1/2)|a1b2-a2b1|
が得られます。


(問3)|↑a|^2=3^2+1^2=10, |↑b|^2=1^2+2^2=5, ↑a・↑b=5 より、与式を2乗して t について平方完成し、
|↑a+t↑b|^2=|↑a|^2+2t(↑a・↑b)+t^2|↑b|^2=10+10t+5t^2=5(t+1)^2+5≧5
だから、最小値は√5 で、そのとき t=-1 です。

また、t=-1 ですから、↑a+t↑b=↑a-↑b なので、これと↑b との内積をとれば、
(↑a-↑b)・↑b=↑a・↑b - |↑b|^2=5-5=0
つまり直交するので、θ=90°です。




※数式が見にくい場合は、一部こちらでも見られるようにしておきました。
http://obelisk704.web.fc2.com/memo/memo1.html

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