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この問題わかる方教えていただけますか? 出来れば解説付きで^^;

湯〜野素さん

2013/11/716:16:45

この問題わかる方教えていただけますか?
出来れば解説付きで^^;

余弦定理,正弦定理,三辺,bc sin∠A,2R sin,解説付き,問題わかる方

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hkikuchi1968さん

2013/11/718:33:14

基本事項の確認

基本的な関係式
sin^2 θ + cos^2 θ = 1
実際は、これを変形した
sin^2 θ = 1 - cos^2 θ, cos^2 θ = 1 - sin^2 θ
の方を使う機会が多い
注意!:変形したほうの式まで覚えようとするんじゃなくて、
「sin^2 θ + cos^2 θ = 1 は必要に応じて変形して使う」
ってのを覚える

余弦定理:△ABC において、
第一形(使う機会は少ないので覚えていなくて困ることも少ない)
a = b cos∠C + c cos∠B
b = c cos∠A + a cos∠C
c = a cos∠B + b cos∠A
第二形(よく使う)
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos∠A
b^2 = c^2 + a^2 - 2ca cos∠B
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos∠C
これらを変形した
cos∠A = (b^2 + c^2 - a^2)/2bc
cos∠B = (c^2 + a^2 - b^2)/2ca
cos∠C = (a^2 + b^2 - c^2)/2ab
もよく使う
注意!:変形したほうの式まで覚えようとするんじゃなくて、
「余弦定理は必要に応じて変形して使う」
ってのを覚える

正弦定理:△ABC において、
第一形
a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C = 2R
ここで、R は△ABC の外接円の半径
これを変形した
a = 2R sin∠A, b = 2R sin∠B, c = 2R sin∠C の形の方が便利なことも多い
第二形(外接円が絡まないときはこちらの方が便利)
a:b:c = sin∠A:sin∠B:sin∠C
実際には必要な部分だけとって、
a:b = sin∠A:sin∠B
b:c = sin∠B:sin∠C
c:a = sin∠C:sin∠A
の形で使う

正弦定理と余弦定理の使い分けの基本方針
三辺⇒角 余弦定理
二辺と一角⇒辺 余弦定理
二辺と一角⇒角 正弦定理
一辺と二角⇒辺 正弦定理

三角形の面積:△ABC の面積 S は、
S = (1/2)ab sin∠C = (1/2)bc sin∠A = (1/2)ca sin∠B

----------
問題の解答
(1)
三辺が与えられて、角の cos を求めるのだから、
「基本方針:三辺⇒角 余弦定理」
で行く
c = AB = 6, a = BC = 4, b = CA = 5 がわかっていて、∠CAB = ∠A を求めるのだから、∠A に関する余弦定理の式
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos∠A
を使う
変形して、
cos∠A = (b^2 + c^2 - a^2)/2bc
a = 4, b = 5, c = 6 を代入して、
cos∠A = (5^2 + 6^2 - 4^2)/2・5・6 = 45/2・5・6 = 3/4

ans. cos∠CAB = 3/4


(2)
三角形の面積を求める公式には sin が入っているので、それをまず求める
(1) で cos∠A = 3/4 がわかっているから、基本的な関係式
sin^2 θ + cos^2 θ = 1
を利用して sin∠A を求め、S = (1/2)bc sin∠A を使う。

sin^2 ∠A + cos^2 ∠A = 1 より、
sin^2 ∠A = 1 - cos^2 ∠A
(1) より cos∠A = 3/4 だから、
sin^2 ∠A = 1 - (3/4)^2 = 1 - 9/16 = 7/16
0°< ∠A < 180°だから sin∠A > 0 なので、
sin∠A = √(7/16) = (√7)/4
だから △ABCの面積 S は、
S = (1/2)bc sin∠A = (1/2)・5・6・(√7)/4 = (15√7)/4

ans. (15√7)/4

(2) 別解
ヘロンの公式:△ABC の面積 S は、
s = (a+b+c)/2 とおいて、
S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
三辺の長さが整数のときに便利だが、出番は少ない

これを使うと、
s = (4+5+6)/2 = 15/2
s-a = 15/2 - 4 = 7/2
s-b = 15/2 - 5 = 5/2
s-c = 15/2 - 6 = 3/2
S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
= √{(15/2)(7/2)(5/2)(3/2)}
= √{(15・15・7)/16}
= (15√7)/4

以上でした

質問した人からのコメント

2013/11/7 19:30:24

ありがとうございます♪♪(^◇^)

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