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数学Ⅰのデータについて質問です。 次の問題が全く分かりません。 解き方を教えて...

mr_********さん

2014/2/2122:07:37

数学Ⅰのデータについて質問です。
次の問題が全く分かりません。
解き方を教えていただけたら
嬉しいです。

問題
100人生徒を2つの組に分けて行った試験の結果
1組 40人 平均値62 標

準偏差 13
2組 60人 平均値57 標準偏差 12
であった。
問1) 1組の(各生徒の得点)^2の平均値と、2組の(各生徒の得点)^2の平均値をそれぞれ求めなさい。

問2)100人全員の点数についての分散、標準偏差を求めなさい。

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dar********さん

2014/2/2201:00:39

数Iの範囲なので、極力Σ(総和の記号)を使わずにご説明します。
(かっこつきで、一応Σを使った式も書いていきます)

標準偏差は、分散の正の平方根です。
分散は、(各生徒の得点-平均点)^2をずっと足していって、最後に
母数で割ります。(生徒iの得点をx(i), 平均をx、母数nとすると、
(1/n){Σ((i)=1~k)(x(i)-x)^2という式になります)
平均というのは、各得点を足していって、総和を母数で割ったものでした。
このことから、総和は、平均×母数に等しいことがわかります。
(式にするとx=(1/n)Σ(i=1~n)x(i)より、Σ(i=1~n)x(i)=nx)
ここで、分散の式を考えます。
(x(i)-x)^2=x(i)^2-2x(i)x+x^2ですね。
これをずっと足していくことを考えます。
xは、データが決まれば、ただ1つに定まる定数です。
だから、n人分これを足していくと、展開式の真ん中の項は、
-2xでくくると、-2x(x(1)+x(2)+...+x(n))=-2x(nx)=-2nx^2となります。
(さっきの性質を用いました。)
また、x^2をn個足すとnx^2となります。
よって、分散の式は、
(1/n)(x(1)^2+x(2)^2+...+x(n)^2-2nx^2+nx^2)
=(1/n)(x(1)^2+...+x(n)^2))-x^2
このことから、分散は、生徒の得点の2乗の平均から、
生徒の得点の平均の2乗を引いたものと分かります。

1、1組について、求めたいものをyとすれば、
y-62^2=13^2
∴y=4013
2組について、
z-57^2=12^2
∴z=3393

2,100人分の平均を求めるときは、
{(1組の総得点)+(2組の総得点)}/100

さきほどやったように、
1組の総得点=1組平均点×1組の生徒数で求まるのでした。
よって、学年平均は、
{(40・62)+(60・57)}/100=(248+342)/10=59
また、得点の2乗の学年平均も同様に考えて、
(40・4013+60・3393)/100=3641
さっき、分散が、2乗の平均から、平均の2乗を引いたものになると示しました。
このことから、求めたい分散Vは、
V=3641-59^2=160
これの√が標準偏差だから、
SD=√160=4√10≒12.65

これは、1年生には少々酷かもしれませんね。
計算量、考え方、ともに大変です。(授業でやったのなら
話は別ですが)
ところで、1組と2組の人数の違いが不自然ですよね。1組不登校だらけかよって
ツッコみたくなりますね。なんちゃって。

間違っていたらすみません。

質問した人からのコメント

2014/2/22 17:39:29

降参 すごく丁寧にありがとうございます!!とても助かりました!!

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