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4次方程式の実数解について教えてください。

kur********さん

2014/3/711:30:51

4次方程式の実数解について教えてください。

ふと疑問に思いました。

実数係数の4次方程式ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0が、
「実数解を持つ条件」はどのように考えれば良いのか?

2次方程式ax^2+bx+c=0が実数解を持つ条件は、
判別式D=b^2-4acを用いてD≧0と表されますよね。

実数係数の3次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0は、少なくともひとつは実数解を持ちますよね。

では、実数解を持つとは限らない4次方程式が、実数解を持つか持たないかを調べるにはどうすればいのでしょうか?

例えば、

x^4-x^3+x^2+2=0

という方程式は

(x^2-2x+2)(x^2+x+1)=0

と変形できれば、実数解を持たないことを簡単に調べられますが、このような因数分解は簡単に得ることのできないものが大半かと思います。
そこで、因数分解していない変形前の時点で判別することのできる統一的な考え方が何かないかと思い、質問しました。

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ベストアンサーに選ばれた回答

あれれさん

編集あり2014/3/720:00:51

既に回答されてましたが
微分して極値を調べて増減表を書くのが実用的だと思います

f'(x)=0 の解が簡単に表せない場合には
f'(x)=0 と y=f(x) からxを消去してyの3次方程式g(y)=0を得て
3次方程式 g(y)=0 の解の符号を調べることに帰着できます。
(xを消去する操作はコンピュータを使わないと難しいでしょうが)
-----
一般的にx^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 が実数解を持つ条件を求めてみると
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1212053000...
に書いたD,P,R,Qを使って(1)または(2)が成り立つことです。

(1) D≧0 かつ (P≧0 または Q≦0)
(2) R≧0

質問した人からのコメント

2014/3/8 00:10:59

成功 皆さん、ご回答ありがとうございます。
思いもよらなかった様々なアプローチの仕方があり、非常に勉強になりました。
BAは悩みましたが、(私的に)最も質問の意図に近い回答を頂けましたaerile_reさんとさせていただきます。

ベストアンサー以外の回答

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hou********さん

編集あり2014/3/711:49:24

2次方程式の判別式は解の公式の√の中身のことです
したがって4次方程式も同様に考えればいいでしょう
参考:http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n50825
(akashikousenn1mnokaihouさん知恵ノート「四次方程式 解の公式」)
ま、実数解の存在有無を確認したいだけなら中間値の定理を使う方が素直だと思いますがね

paw********さん

2014/3/711:44:41

f(x)=左辺として
グラフで考ることができますよ。

f(a)<0かつf(b)>0
または
f(a)>0かつf(b)<0
ならば
x軸と少なくとも1回は交わるので
a<x<bで少なくとも一つの実数解をもつことがわかります。

あとは
微分を利用して調べるとか
例えば
f(x)=x^4-x^3+x^2+2とすると
f'(x)=4x^3-3x^2+2x=x(4x^2-3x+2)より
増減表などを書くと最小値がx=0のときf(0)=2となり
y=f(x)はx軸と交わらないから実数解を持たない
ということがわかります。

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