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素数が無限にあることは、どうやって証明できるのでしょうか?

toi********さん

2007/9/311:00:31

素数が無限にあることは、どうやって証明できるのでしょうか?

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3,770
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ベストアンサーに選ばれた回答

roy********さん

2007/9/311:04:19

背理法で示します。
いま,素数が有限個で,その積が p であるとします。そして,p + 1 を考えます。
p + 1 が素数なら,それは「新しい素数」になるので,ただちに仮定に反します。
p + 1 が合成数なら,この数は有限個と仮定した素数のいずれで割っても 1 あまります。しかし合成数なのですから,これを割り切る素数が存在するはずです。これは,この素数は,今まで「有限個」とした素数以外の「新しい素数」です。
いずれにしても素数が有限個とすると矛盾が生じますから,素数は無限であるといえます。

質問した人からのコメント

2007/9/4 05:42:24

御回答ありがとうございます。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

tou********さん

2007/9/312:48:48

どのような大きな素数が与えられても、それより大きい素数が存在することを証明すればよい。
pをあたえられた素数とすると、p以下のすべての素数の積に1をくわえて
 q=2*3・・・・・・p+1
とする。
qは素数であるか、合成数かのいずれかである。
qが素数ならば、qはpより大きい素数である。
qが合成数ならば、qはある素数rでわりきれる。しかし、qは2でも3でも・・・・・pでも割り切れないから、rはpより大きな素数である。
したがって、pより大きな素数は必ず存在するので、素数は無限にある。

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