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確率についての質問です。

ari********さん

2007/9/1321:58:12

確率についての質問です。

①X1,X2,X3が独立でP(X1)=P(X2)=P(X3)=1/NのときのE(X1|X1+X2+X3)
②X1,X2,X3が独立じゃなく、P(X1)=P(X2)=P(X3)=1/N,P(Xi|Xj)=1/(N-1),P(Xi|Xj∧Xk)=1/(N-2)
のときのE(X1|X1+X2+X3)


ただし、①については対象性からE(X1+X2+X3|X1+X2+X3)=(X1+X2+X3)/3という方法を用いず愚直に計算した場合のとき方を教えてください

補足すみません。条件が抜けていました。1<=X1,X2,X3<=Nです。(X1,X2,X3は①,②,③のN面体のさいころの目とお考え下さい)よろしくお願いします。

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bbb********さん

編集あり2007/9/2017:29:54

条件X1+X2+X3=S(=定数)とし、独立変数をX1とします。
すると、X1=S-X2-X3 なので、2≦X2+X3=S-X1≦2N ですから、X1の変域は max(S-2N,1)~min(S-2,N) です。
まず P(X1∧X1+X2+X3) をX1の式として求めます。

①では全て独立なので
P(X1∧X1+X2+X3)
= (X2+X3=S-X1である場合の数)×P(X1)P(X2)P(X3)
= (N-|(N+1)-(S-X1)|)/N^3 (2≦S-X1≦2Nの時)
= 0 (上記以外)
です。よって期待値は
E(X1|X1+X2+X3)
= ∑X1・P(X1∧X1+X2+X3) / ∑P(X1∧X1+X2+X3)
= ∑X1(N-|(N+1)-(S-X1)|)/N^3 / ∑(N-|(N+1)-(S-X1)|)/N^3
= ∑X1(N-|(N+1)-(S-X1)|) / ∑(N-|(N+1)-(S-X1)|)
となります。ただし、∑は X1=max(S-2N,1)~min(S-2,N) で取ります。

あとはSの値で場合分けすれば計算できますが、解答欄の字数制限では無理ですので、ご自分で計算して下さい。当然、どの場合でも S/3 になれば正解です。
簡単な(図解法的な)考え方としては、この∑の中の関数(N-|(N+1)-(S-X1)|)は、Sがどのような値であってもグラフは三角形かその組合せになります。この分数はX1の1次モーメントを面積で割っているので重心を求める式であり、その答は S/3 です。

②については非独立性の条件が不明確なのですが、P(Xi|Xj)=1/(N-1)というのは、Xi≠Xjが暗に含まれている(即ち、P(Xi=Xj|Xj)=0)ということですよね。そうでないと、P(Xi|Xj)の全事象の確率がN/(N-1)>1となりおかしなことになってしまいます。
解法は同様に
P(X1∧X1+X2+X3)
= (X2+X3=S-X1である場合の数)×P(X1|X2∧X3)P(X2|X3)P(X3)
をまず求めます。
場合の数からはX1=X2とX1=X3の可能性がある場合は除かなければなりませんが、X1の変域によってはその可能性が無い場合もあるので場合分けはかなり大変です。また、X2=X3となることも出来ないので、S-X1が偶数と奇数では扱いを変える必要があると思います。
愚直解法はかなり手間だとは思いますが、最終結果はS/3と分かっているのですから勉強の一環として頑張って下さい。

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vel********さん

2007/9/1921:56:05

用いている記号の説明が必要だと思います。

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