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約数と倍数 n(n+1)(2n+1)が6の倍数であることをしめせ。 よろしくお願いし...

mar********さん

2014/6/2807:02:49

約数と倍数
n(n+1)(2n+1)が6の倍数であることをしめせ。
よろしくお願いします。

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why********さん

2014/6/2807:39:45

実は、数列の分野で習った公式を思い出すと
6×Σk^2(kが1からn)になるから、6の倍数なんです。

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ベストアンサー以外の回答

1〜5件/5件中

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pcg********さん

2014/6/2807:28:15

連続した3つの整数の積は6の倍数です。
なぜならば、連続した3つの整数のなかには必ず2の倍数と3の倍数が含まれるからです。
n(n+1)(2n+1)=n(n+1){(n+2)+(n-1)}
=n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)
n(n+1)(n+2)と(n-1)n(n+1)は連続した3つの整数の積だから
n(n+1)(2n+1)は6の倍数になる。

shi********さん

2014/6/2807:19:39

nが6で割って1余る数のとき
n(n+1)(2n+1)=1・2・3=0

nが6で割って2余る数のとき
n(n+1)(2n+1)=2・3・5=0

nが6で割って3余る数のとき
n(n+1)(2n+1)=3・4・1=0

nが6で割って4余る数のとき
n(n+1)(2n+1)=4・5・3=0

nが6で割って5余る数のとき
n(n+1)(2n+1)=5・0・5=0


nが6で割って0余る数のとき
n(n+1)(2n+1)=0・1・1=0
QED

bud********さん

2014/6/2807:19:39

n(n+1)(2n+1)-(n-1)n(2n-1)=6n^2
n(n+1)(2n+1)≡(n-1)n(2n-1)≡0(mod 6)

cca********さん

2014/6/2807:18:32

n(n+1)は連続する整数なのでどちらか片方は必ず2の倍数である
よって全体は2の倍数
また、すべての整数を3k-1,3k,3k+1(kは整数)と表すと
n=3k-1の時(3k-1)3k(6k-1)
よって全体は3の倍数
※他の2こも代入してみてください全部3の倍数になりますここでは省略しますが回答には全部かいてくださいね

以上より与式は2の倍数かつ3の倍数である
すなわちn(n+1)(2n+1)は6の倍数

ame********さん

2014/6/2807:15:59

nが自然数であると考えます。
2の倍数であり、3の倍数であれば、
6の倍数であることが示されることに
なります。

n、n+1は連続する2つの自然数ですので、
どちらかは必ず偶数です。従いまして、
n(n+1)(2n+1)は2の倍数となります。

kを自然数とします。
① n=3kの場合
n(n+1)(2n+1)
=3k(3k+1)(6k+1)
従いまして、n(n+1)(2n+1)は3の倍数です。
② n=3k+1の場合
n(n+1)(2n+1)
=(3k+1)(3k+2)(6k+2+1)
=3(3k+1)(3k+2)(2k+1)
従いまして、n(n+1)(2n+1)は3の倍数です。
③ n=3k+2の場合
n(n+1)(2n+1)
=(3k+2)(3k+3)(6k+4+1)
=3(3k+1)(k+1)(6k+5)
従いまして、n(n+1)(2n+1)は3の倍数です。
①、②、③より、n(n+1)(2n+1)は3の倍数であることが
示されました。

2の倍数であり、3の倍数ですので、n(n+1)(2n+1)は
6の倍数となります。

※ nを自然数と記しましたが、整数でも問題ないようです。
整数以外では成り立たない場合が出てきます。

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