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電磁気について

uveroverloveさん

2014/7/2021:42:57

電磁気について

divE=Q/εが成り立つのはどうしてですか?

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2014/7/2107:22:00

div E = ρ/ε ですね。
電磁気で最も上位の概念になるので、何から何を説明するのか、
という感じはありますが…

任意の平曲面Sの内側の微小体積をdv、其処の電荷密度をρとして、
平曲面Sの内部の電荷Qは、平曲面の内部を積分範囲として、
Q=∫ρdv …(1)
平曲面Sの上の微小曲面dS上の電束密度をDとおけば、平曲面から外側へ発散する全電束φは、平曲面全体を積分範囲として、
φ=∫Dds …(2)
Qクーロンの電荷からはQクーロンの電束が発散しますから、
Q=φ
従って
∫Dds =∫ρdv …(3)
左辺にガウスの定理を使えば、
∫div D dv =∫ρdv …(4)
両辺を微分して
div D = ρ …(5)
E=D/εを代入して、
div E = ρ/ε …(6)

(3)式からクーロンの法則を導いてみせることもできます。
(3)式で平曲面が任意の半径rの球状であるとき、電荷Qが全て球の中心にあるとすれば、
電束密度Dの大きさは、対称性から球上のどこでも同じであろうから、
∫Dds = (4πr^2)・D = ∫ρdv = Q …(7)
従って
D = Q/(4πr^2) …(8)
E = Q/(4π・ε・r^2) …(9)
もうひとつの電荷qを持ち込んでrの場所に置いたとき電荷が受ける力Fは、
F = qE = qQ/(4π・ε・r^2) …(10)
div E = ρ/εはクーロンの法則よりも上位の概念なので、説明はこの順になります。

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