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図形の問題です。解き方を教えてください。

非公開さん

2015/1/1101:33:16

図形の問題です。解き方を教えてください。

BC=2,
弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=1:2:4:3のとき、CDの長さを求めよ。

弧,解き方,図形,円周角,弧DA,cos2,sin4

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みそさん

2015/1/1101:35:38

bc:cd=2:4だからbcを2倍して2×2で4じゃないですか?

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2015/1/1321:15:22

読みながら、図に書き込んでみてくださいね。


角ACB=θ、CD=xとおく。

円周角の定理より、各々の弧に対応する円周角は弧の長さに比例するから、条件より、

角BDC=2θ、角ACD=3θ、角CBD=4θとおける。

△BCDにおいて、正弦定理より、

x/sin4θ=2/sin2θ

ここで2倍角の公式より
sin4θ=2sin2θcos2θであるから、これに代入して、

cos2θ=1/4x・・・①

また、角BCD=角CBD=4θより、△BCDは二等辺三角形であるから、
BD=CD=x
△BCDに余弦定理を用いて、

2^2=x^2+x^2−2・x・x・cos2θ
・・・②

①を②に代入してcos2θを消去して、xについて整理すると、

x^3−4x^2+8=0

x=2が解のひとつであるから、


(x-2)(x^2−2x−4)=0

と因数分解できる。

△BCDは正三角形ではないからx≠2

よって、x^2−2x−4=0

x>0より、これを解いて

x=1+√5

よってCD=x=1+√5

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