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AC=b,AB=cの△ABCにおいて、 sinA:sinB=√3:√2、2c^2-b^2=2bcが成り立つとき、∠Cの...

kk1********さん

2015/7/714:44:54

AC=b,AB=cの△ABCにおいて、
sinA:sinB=√3:√2、2c^2-b^2=2bcが成り立つとき、∠Cの大きさの求め方を教えてください。

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kum********さん

2015/7/715:34:42

正弦定理より
a/sinA=b/sinB
a/b=sinA/sinB
a/b=√3/√2
a=√3b/√2

2c^2-b^2=2bc
b^2+2bc-2c^2=0
b^2+2bc+c^2=3c^2
(b+c)^2=3c^2
b+c=±√3c
b=(-1±√3)c
b>0,c>0なので、b=(-1-√3)cは不適
b=(√3-1)c
c=b/(√3-1)=(√3+1)b/2

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
=(3b^2/2+b^2-(4+2√3)b^2/4)/(2*√3b/√2*b)
=(3/2+1-(2+√3)/2)/√6
=(3+2-2-√3)/(2√6)
=(3-√3)/(2√6)
=(3√6-3√2)/12
=(√6-√2)/4

これからC=75°を求めるのは難しいでしょうね。

ということで、AとBを求めることにしましょう。

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
=(b^2+(4+2√3)b^2/4-3b^2/2)/(2*b*(√3+1)b/2)
=(1+(2+√3)/2-3/2)/(√3+1)
=(2+2+√3-3)/(2(√3+1))
=(√3+1)/(2(√3+1))
=1/2
A=60°

cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)
=((4+2√3)b^2/4+3b^2/2-b^2)/(2*(√3+1)b/2*√3b/√2)
=((2+√3)/2+3/2-1)/((3+√3)/√2)
=(2+√3+3-2)/(√2(3+√3))
=(√3+3)/(√2(3+√3))
=1/√2
B=45°

C=180°-60°-45°=75°

質問した人からのコメント

2015/7/7 16:30:57

丁寧な回答ありがとうございます。

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