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△EFOと平行四辺形ABCDの面積比を求めてください。 多分△BEF≡OEFだと思うのですが...

toshihiro_0kunさん

2015/11/2209:42:40

△EFOと平行四辺形ABCDの面積比を求めてください。
多分△BEF≡OEFだと思うのですがそれについての証明もできればお願いします。

平行四辺形ABCD,EFO,面積比,BEF≡OEF,メネラウス,面積,i.e

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mohlin0515さん

2015/11/2213:23:49

△EFOと平行四辺形ABCDの面積比を求める前に今一度確認!

>辺BCを3等分した点のうちBに近いほうの点をE、……
とあるので、△AFD:△BFE=3:1。よって、AF:FE=3:1。
△CDO=△CDA-△AOD。ADの長さを3、高さを3hと仮定すると、△CDOの面積は、3*3h/2-3*(3/2)h/2 = 9h/2-9h/4 = (18h-9h)/4 =9h/4。
△CEOの面積は、2*(3/2)h/2 = 3h/2。
△CDOの面積:△CEOの面積=9/4:3/2 = 9:6 = 3:2。

さて、本題です。
平行四辺形ABCDの面積=3*3h=9h。
問題(1)より、AF:FE=3:1でしたので、△BFEの面積は1*(3h/4)/2=3h/8。
△BOEの面積=1*(3h/2)/2=3h/4。
△EFOの面積は、△BOEの面積(i.e., 3h/4)から△BFEの面積(i.e., 3h/8)を差引けば出るので、3h/4-3h/8 = (6h-3h)/8 = 3h/8。
∴△EFOの面積:平行四辺形ABCDの面積=3/8:9 = 3:72= 1:24。

>多分△BEF≡OEFだと思うのですがそれについての証明……
先ほど求めたように、△BFEの面積=3h/8。△EFOの面積=3h/8。
面積は等しいですが、面積が等しいからと言って、△BFE≡△EFOとは必ずしも言えません。3辺がそれぞれ等しいか、2辺とその間の角がそれぞれ等しいか、1辺と両端の角がそれぞれ等しいか、この図からは判断できません。
3*4でも2*6でも1*12でも積は共に12、みたいにネ!

以上

質問した人からのコメント

2015/11/23 16:23:44

大変分かりやすかったです。
ありがとうございます。

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1〜1件/1件中

alpaca584さん

2015/11/2211:03:18

(1)
メネラウスの定理より
(AO/OC)*(CB/BE)*(EF/FA)=1
(1/1)*(3/1)*(EF/FA)=1
EF/FA =1/3
∴ AF : FE = 3:1

(2)
三角形の面積を
△ABCの面積 = S(△ABC) のように表すこととする。

S(△COD) = S(△COB)

底面の比より
S(△COB) : S(△CEO) = 3:2

∴ S(△COD) : S(△CEO) = 3:2

(3)
S(△COB) = (1/4)*S(平行四辺形ABCD) ………①

S(△OBE) = S(△COB) - S(△CEO) = (1/3)*S(△COB)…②

メネラウスの定理より
(BE/EC)*(CA/AO)*(OF/FB)=1
(1/2)*(2/1)*(OF/FB)=1
OF/FB =1
∴ OB : OF = 2:1

底面の比より
S(△OBE) : S(△EFO) = 2:1
S(△EFO) = (1/2)*S(△OBE)………③

①②③より
S(△EFO)
= (1/2)*S(△OBE)
= (1/2)* (1/3)*S(△COB)
= (1/2)* (1/3)* (1/4)*S(平行四辺形ABCD)
= (1/24)*S(平行四辺形ABCD)

よって
S(△EFO) :S(平行四辺形ABCD)
= △EFO の面積 : 平行四辺形ABCDの面積
= 1 : 24


>多分△BEF≡OEFだと思うのですが

合同ではありません。
しかし,底面比が等しいので面積は等しいです。

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