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1 0 0 2 3 4 -2 -2 -3 この3行3列の固有値と固有ベクトルを教えてください(>_...

fym********さん

2015/12/1711:32:37

1 0 0
2 3 4
-2 -2 -3

この3行3列の固有値と固有ベクトルを教えてください(>_<)

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hai********さん

2015/12/1713:59:19

この行列 A の固有多項式は

|t-1, . 0, . 0|
| -2, t-3, .-4|
| .2, . 2, t+3|

= (t - 1){(t - 3)(t + 3) - (-4)×2}
= (t - 1)(t² - 1)
= (t - 1)²(t + 1)

と因数分解されるので固有値は t = -1, 1 (重解)となります。固有
ベクトル x は (tE - A)x = o を満たします。

(1) t = -1 のとき

[tE - A : o]
=
[-2, ..0, .0 : 0]
[-2, -4, -4 : 0]
[ 2, ..2, .2 : 0]

[-2, ..0, .0 : 0]
[ 0, -4, -4 : 0]
[ 0, ..2, .2 : 0]

[1, 0, 0 : 0]
[0, 1, 1 : 0]
[0, 0, 0 : 0]

なので x = 0, y + z = 0 であり、固有ベクトルは

ᵗ[x, y, z]
= ᵗ[0, y, -y]
= yᵗ[0, 1, -1] ... (i)

となります。

(2) t = 1 のとき

[tE - A : o]
=
[..0, .0, ..0 : 0]
[-2, -2, -4 : 0]
[..2, .2, ..4 : 0]

[0, 0, 0 : 0]
[1, 1, 2 : 0]
[0, 0, 0 : 0]

なので x + y + 2z = 0 であり、固有ベクトルは

ᵗ[x, y, z]
= ᵗ[x, -x - 2z, z]
= xᵗ[1, -1, 0] + zᵗ[0, -2, 1] ... (ii)

となります。

以上、式(i), (ii)から

固有値 → 固有ベクトル
t = -1 → ᵗ[0, 1, -1]
t = 1 .→ ᵗ[1, -1, 0], ᵗ[0, -2, 1]

となります。

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guy********さん

2015/12/1714:39:11

fymuki514さん 2015/12/1711:32:37

|λE-A|=0

たとえば左辺をサラスの公式で展開するか、あるいは…

同様に3次正方行列の特性多項式(方程式)

Χ(x)=|xE-A|=x³-T(A)x²+(2次主小行列式の和)x-|A|=0

λ₁+λ₂+λ₃=T(A) , λ₁λ₂λ₃=|A| …(♪)

*(2次主小行列式の和)=A₁₁+A₂₂+A₃₃

=(a₂₂a₃₃-a₂₃a₃₂)+(a₁₁a₃₃-a₁₃a₃₁)

+(a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)

|a₂₂ a₂₃|+
|a₃₂ a₃₃|

|a₁₁ a₁₃|+
|a₃₁ a₃₃|

|a₁₁ a₁₂|
|a₂₁ a₂₂|

*Χ(x)=|xE-A| =x³-T(A)x²+(2次主小行列式の和)x-|A|=0

(x³⁻ʳ) の項の係数=(-1)ʳ×(Aのすべてのr次主小行列式の和)

*n次正方行列A=(aij)の特性多項式 Χ(x) のxⁿ⁻ʳ の項の係数は

(-1)ʳ×(Aのすべてのr次主小行列式の和)


これを利用すると

T(A)=1
|A|=-1
(2次主小行列式の和)=A₁₁+A₂₂+A₃₃=-1

|λE-A|=λ³-λ²-λ+1=(λ+1)(λ-1)²=0

固有値:λ=-1,1(2重解)

固有ベクトルを x i =

(x)
(y)
(z)

とすると Axi=λixi ⇔ (A-λiE)xi=O

ア)λ₁=-1のとき

2x=0
2x+4y+4z=0
-2x-2y-2z=0

これを解いて x=0, y=-z=t₁(≠0)

∴x₁=

(0)
t₁(-1)
(1)


イ)λ₂=1のとき

0x+0y+0z=0
2x+2y+4z=0
-2x-2y-4z=0

整理すると x+y+2z=0

∴x=-t₂-2t₃, y=t₂, z=t₃(t₂とt₃は同時に0にならない)

∴x₂=

(‐t₂‐2t₃)
(t₂)=
(t₃)

(‐1)
t₂(1)+
(0)

(‐2)
t₃(0)
(1)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C0%2C0%7D%2C%7B2%2C3%...

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