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a) If an integer p is not divisible by 2 and 3, show that p^2-1 is divisible ...

tak********さん

2016/3/2016:07:59

a) If an integer p is not divisible by 2 and 3, show that p^2-1 is divisible by 24.

b) If an integer p is not divisible by 2, 3 and 5, show that p^4-1 is divisible by 240.
———————
この問題のご解答及びご解説をお願い致します.

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回答数:
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ベストアンサーに選ばれた回答

hkikuchi1968さん

2016/3/2016:40:14

a)
題意より p=6n±1 と表すことができて
p²-1=36n²±12n=12n(3n±1)
nが偶数なら12nが24の倍数だから確かにp²-1は24で割り切れる。
nが奇数なら、3n±1が偶数なので、12(3n±1)が24の倍数だから
やはりp²-1は24で割り切れる。

b)
p⁴-1 = (p²+1)(p²-1)
ここで、pは2で割り切れないから奇数、したがって、p²+1は偶数。
また、pは2,3で割り切れないからa)よりp²-1は24で割り切れる。
したがって、p⁴-1は2×24=48で割り切れる。
また、pは5で割り切れないから、
p≡±1 (mod 5) あるいは、p≡±2 (mod 5)。
どの場合でも、p⁴≡1 (mod 5)。
つまり、p⁴-1は5で割り切れる。
すると、p⁴-1は48でも5でも割り切れるのだから、
48と5の最小公倍数である240で割り切れる。

  • 質問者

    tak********さん

    2016/3/2018:05:04

    ありがとうございます.質問させて頂くかもしれないので,ベストアンサーの選択までお時間を頂きたく思います.宜しくご了承下さい.

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質問した人からのコメント

2016/3/27 00:32:18

ありがとうございました.

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