ここから本文です

チェバの定理の証明がわかりません(T-T)

ayo********さん

2016/5/2710:22:54

チェバの定理の証明がわかりません(T-T)

三角形ABCの外部に点Oをとり、三頂点と結ぶ、このときもチェバの定理が成り立つ事を適切な補助線を補いながら証明してください、
内部の場合はわかるのですが外部の場合がピンときません
(T-T)

閲覧数:
1,455
回答数:
1

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

aoi********さん

2016/5/2801:30:46

>三角形ABCの外部に点Oをとり、三頂点と結ぶ、このときもチェバの定理が成り立つ事を適切な補助線を補いながら証明してください、

ウィキメディアにある以下の図を使って証明します。

チェバの定理の第2の場合:三角形ABCの外部の点Oで3本の直線が交わる
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ceva%27s_theorem_2.svg

図のように、
直線OAと直線BCとの交点をD、
直線OBと直線ACとの交点をE、
直線OCと直線ABとの交点をF、
とします。

線分AFと線分FBを底辺とする三角形AFCと三角形FBCとは高さが等しいので、

AF/FB=△AFC/△FBC.

同様にして、線分AFと線分FBを底辺とする三角形AFOと三角形FBOとは高さが等しいので、

AF/FB=△AFO/△FBO.

したがって、

AF/FB=(△AFC-△AFO)/(△FBC-△FBO)=△AOC/△BOC.

線分BDと線分DCを底辺とする三角形BDAと三角形CDAとは高さが等しいので、

BD/DC=△BDA/△CDA.

同様にして、線分BDと線分DCを底辺とする三角形BDOと三角形CDOとは高さが等しいので、

BD/DC=△BDO/△CDO.

したがって、

BD/DC=(△BDA-△BDO)/(△CDA-△CDO)=△BOA/△COA.

線分CEと線分EAを底辺とする三角形CEBと三角形AEBとは高さが等しいので、

CE/EA=△CEB/△AEB.

同様にして、線分CEと線分EAを底辺とする三角形CEOと三角形AEOとは高さが等しいので、

CE/EA=△CEO/△AEO.

したがって、

CE/EA=(△CEB+△CEO)/(△AEB+△AEO)=△COB/△AOB.

よって、

(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)
=(△AOC/△BOC)(△BOA/△COA)(△COB/△AOB)
=1.
(証明終わり)

以上、何かのお役に立てば幸いです。

  • 質問者

    ayo********さん

    2016/5/2811:42:18

    なるほど意味がわかりました本当に助かりました。
    もう一つ
    参考書には△OBC/△OAB=CQ/QAと一行で書いてあるのですがそれが視覚的に見えるような補助線とかはありませんか?自分にはどうしても見えません、

  • その他の返信(1件)を表示

返信を取り消しますが
よろしいですか?

  • 取り消す
  • キャンセル

この回答は投票によってベストアンサーに選ばれました!

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる